A força de atração entre duas partículas é dada por:
f12=k[(r2-r1)-rv0(dotr2-dotr1)]
onde k é uma constante, v0 é uma velocidade constante e r equiv|r2-r1|. Calcule o torque interno do sistema. Por que essa quantidade não se anula? O sistema é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o torque interno de um sistema formado por duas partículas que se atraem por uma força específica. Além disso, precisamos entender por que esse torque não é zero e verificar se o sistema é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de força, torque e sistemas conservativos na física.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é torque. Torque é uma medida de como uma força pode causar rotação em um objeto. Matematicamente, o torque tau é dado pelo produto vetorial entre a posição r e a força f:
tau = r times f
No nosso caso, temos duas partículas com posições r1 e r2, e a força de atração entre elas é f12.

Passo 3

Como o torque interno do sistema é a soma dos torques aplicados por cada força interna, precisamos calcular o torque que cada força exerce em relação a um ponto de referência. Geralmente, escolhemos a origem do sistema como ponto de referência.
Para a força f12, a posição é r1, e para a força f21 (a força de r2 sobre r1), a posição é r2. Então, os torques são:
tau12 = r1 times f12
tau21 = r2 times f21

Passo 4

Sabemos, pela terceira lei de Newton, que f21 = -f12. Então, podemos escrever:
tau21 = r2 times (-f12) = -r2 times f12

Passo 5

Agora, somando os torques internos:
tauinterno = tau12 + tau21 = r1 times f12 - r2 times f12 = (r1 - r2) times f12
Note que r1 - r2 = -(r2 - r1), então:
tauinterno = -(r2 - r1) times f12

Passo 6

Substituindo a expressão da força f12:
tauinterno = -(r2 - r1) times [ k(r2 - r1 - rv0(dotr2 - dotr1)) ]
Distribuindo o produto:
tauinterno = -k (r2 - r1) times (r2 - r1) + k rv0 (r2 - r1) times (dotr2 - dotr1)

Passo 7

Observamos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja:
(r2 - r1) times (r2 - r1) = 0
Então, simplificando:
tauinterno = k rv0 (r2 - r1) times (dotr2 - dotr1)

Passo 8

Portanto, o torque interno do sistema é:
tauinterno = k rv0 (r2 - r1) times (dotr2 - dotr1)

Passo 9

Agora, por que esse torque não se anula? Bem, se olharmos para a expressão, a presença do termo dotr2 - dotr1 (a diferença das velocidades) significa que, a menos que as partículas se movam exatamente na mesma direção e velocidade, o produto vetorial não será zero. Ou seja, se as partículas têm movimentos diferentes, haverá um torque interno.

Passo 10

Finalmente, vamos ver se o sistema é conservativo. Um sistema é conservativo se o trabalho realizado pelas forças internas depende apenas da posição e não do caminho, ou seja, se a energia total é conservada.
No nosso caso, a força f12 depende da velocidade dotr, o que indica que há dissipação de energia (como em forças de atrito). Portanto, o sistema não é conservativo.

Resposta

O torque interno do sistema é dado por:
tauinterno = k rv0 (r2 - r1) times (dotr2 - dotr1)
Esse torque não se anula porque as partículas possuem movimentos diferentes, resultando em um produto vetorial não nulo. Além disso, o sistema não é conservativo devido à dependência da força em relação à velocidade.

Exercícios relacionados