A força de atração entre duas partículas é dada por:
onde é uma constante, é uma velocidade constante e . Calcule o torque interno do sistema. Por que essa quantidade não se anula? O sistema é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o torque interno de um sistema formado por duas partículas que se atraem por uma força específica. Além disso, precisamos entender por que esse torque não é zero e verificar se o sistema é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de força, torque e sistemas conservativos na física.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é torque. Torque é uma medida de como uma força pode causar rotação em um objeto. Matematicamente, o torque é dado pelo produto vetorial entre a posição e a força :
No nosso caso, temos duas partículas com posições e , e a força de atração entre elas é .

Passo 3

Como o torque interno do sistema é a soma dos torques aplicados por cada força interna, precisamos calcular o torque que cada força exerce em relação a um ponto de referência. Geralmente, escolhemos a origem do sistema como ponto de referência.
Para a força , a posição é , e para a força (a força de sobre ), a posição é . Então, os torques são:

Passo 4

Sabemos, pela terceira lei de Newton, que . Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, somando os torques internos:
Note que , então:

Passo 6

Substituindo a expressão da força :
Distribuindo o produto:

Passo 7

Observamos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja:
Então, simplificando:

Passo 8

Portanto, o torque interno do sistema é:

Passo 9

Agora, por que esse torque não se anula? Bem, se olharmos para a expressão, a presença do termo (a diferença das velocidades) significa que, a menos que as partículas se movam exatamente na mesma direção e velocidade, o produto vetorial não será zero. Ou seja, se as partículas têm movimentos diferentes, haverá um torque interno.

Passo 10

Finalmente, vamos ver se o sistema é conservativo. Um sistema é conservativo se o trabalho realizado pelas forças internas depende apenas da posição e não do caminho, ou seja, se a energia total é conservada.
No nosso caso, a força depende da velocidade , o que indica que há dissipação de energia (como em forças de atrito). Portanto, o sistema não é conservativo.

Resposta

O torque interno do sistema é dado por:
Esse torque não se anula porque as partículas possuem movimentos diferentes, resultando em um produto vetorial não nulo. Além disso, o sistema não é conservativo devido à dependência da força em relação à velocidade.

Exercícios relacionados

O ponto de ebuligalo e o ponto de fusso da aqua na escala Fahrenheit foram escohidos de modo que a diferenca entre as duas temperaturas fosse de , um numero que & divisivel por e 9 . Estabeleca uma nova escala do temperatura de modo que e 0 zero absoluto seja
(b) Dotermine a temperatura do ponto de fusto da agua ( em
(1pt.) Um carrinho de supermercado carregado está sendo empurrado pelo pátio de um estacionamento sob vento forte. Você aplica uma força constante ao carrinho enquanto ele percorre um deslocamento . Qual é o trabalho da força exercida por você sobre o carrinho?
Um cubo de aresta está inicialmente em repouso apoiado em uma das arestas. Mostre que se o cubo for levemente perturbado a sua velocidae angular quando uma das a faces atingir o plano é dada por onde se a aresta permanece fixa e se ela desliza sem atrito.
Considere um termometro de vidro de mercúrio. Suponha que a seçaso reta do capilar seja uma constante A e que o volume do bulbo de mercúrio a seja Vi. Supontha que o mercúrio preencha completamente o bulbo a . Mostre que o comprimento da coluna de mercuirio no capitar, a temperatura , em proporcional à temperatura, sendo dado por
onde é o coeficiente de ditataçふ̊o volumetrica do mercúrio e a a coeficiente de dilataçalo linear do vidro