A força de atração entre duas partículas é dada por:
onde
é uma constante,
é uma velocidade constante e
. Calcule o torque interno do sistema. Por que essa quantidade não se anula? O sistema é conservativo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o torque interno de um sistema formado por duas partículas que se atraem por uma força específica. Além disso, precisamos entender por que esse torque não é zero e verificar se o sistema é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de força, torque e sistemas conservativos na física.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é torque. Torque é uma medida de como uma força pode causar rotação em um objeto. Matematicamente, o torque
é dado pelo produto vetorial entre a posição
e a força
:
No nosso caso, temos duas partículas com posições
e
, e a força de atração entre elas é
.
Passo 3
Como o torque interno do sistema é a soma dos torques aplicados por cada força interna, precisamos calcular o torque que cada força exerce em relação a um ponto de referência. Geralmente, escolhemos a origem do sistema como ponto de referência.
Para a força
, a posição é
, e para a força
(a força de
sobre
), a posição é
. Então, os torques são:
Passo 4
Sabemos, pela terceira lei de Newton, que
. Então, podemos escrever:
Passo 5
Agora, somando os torques internos:
Note que
, então:
Passo 6
Substituindo a expressão da força
:
Distribuindo o produto:
Passo 7
Observamos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja:
Então, simplificando:
Passo 8
Portanto, o torque interno do sistema é:
Passo 9
Agora, por que esse torque não se anula? Bem, se olharmos para a expressão, a presença do termo
(a diferença das velocidades) significa que, a menos que as partículas se movam exatamente na mesma direção e velocidade, o produto vetorial não será zero. Ou seja, se as partículas têm movimentos diferentes, haverá um torque interno.
Passo 10
Finalmente, vamos ver se o sistema é conservativo. Um sistema é conservativo se o trabalho realizado pelas forças internas depende apenas da posição e não do caminho, ou seja, se a energia total é conservada.
No nosso caso, a força
depende da velocidade
, o que indica que há dissipação de energia (como em forças de atrito). Portanto, o sistema não é conservativo.
Resposta
O torque interno do sistema é dado por:
Esse torque não se anula porque as partículas possuem movimentos diferentes, resultando em um produto vetorial não nulo. Além disso, o sistema não é conservativo devido à dependência da força em relação à velocidade.
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