Considere o tetraedro de vértices P=(1,2,1), Q=(7,4,3), R=(4,6,2) e S= (3,3,3). Determine
a altura do tetraedro em relação à base P Q R;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um tetraedro com vértices nos pontos , , e . A gente precisa encontrar a altura desse tetraedro em relação à base formada pelos pontos .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente a distância de um ponto a um plano. Precisaremos calcular:
  1. A equação do plano que contém os pontos , e .
  2. A distância do ponto a esse plano, que será a altura do tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano PQ = Q - P = (7-1, 4-2, 3-1) = (6, 2, 2) . Podemos usar os vetores PR = R - P = (4-1, 6-2, 2-1) = (3, 4, 1) e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, para achar a equação do plano n = PQ times PR = i & j & k 6 & 2 & 2 3 & 4 & 1 = i(2 cdot 1 - 2 cdot 4) - j(6 cdot 1 - 2 cdot 3) + k(6 cdot 4 - 2 cdot 3) , precisamos encontrar o vetor normal a esse plano. O vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial de n = i(-6) - j(0) + k(18) = (-6, 0, 18) e n = (-1, 0, 3) .
Calculando o produto vetorial :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 6:

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -1(x - 1) + 0(y - 2) + 3(z - 1) = 0 , podemos montar a equação do plano - x + 1 + 0 + 3z - 3 = 0 .
A equação geral do plano é:
- x + 3z - 2 = 0
Onde x - 3z + 2 = 0 são as componentes do vetor normal e x - 3z + 2 = 0 é um ponto no plano.
Substituindo:
Ou, rearranjando:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do ponto D = |a x1 + b y1 + c z1 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 a esse plano. A fórmula para a distância D = |1 cdot 3 + 0 cdot 3 + (-3) cdot 3 + 2|raiz1^2 + 0^2 + (-3)^2 = |3 + 0 -9 + 2|raiz1 + 0 + 9 = |-4|raiz10 = 4raiz10 de um ponto D = 4raiz10 times raiz10raiz10 = 4raiz1010 = 2raiz105 a um plano é:
No nosso caso, a equação do plano é , então , , , e .
Substituindo na fórmula:
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A altura do tetraedro em relação à base é unidades.

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