Considere o tetraedro de vértices e . Determine
a altura do tetraedro em relação à base ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um tetraedro com vértices nos pontos , , e . A gente precisa encontrar a altura desse tetraedro em relação à base formada pelos pontos .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente a distância de um ponto a um plano. Precisaremos calcular:
  1. A equação do plano que contém os pontos , e .
  2. A distância do ponto a esse plano, que será a altura do tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano . Podemos usar os vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, para achar a equação do plano , precisamos encontrar o vetor normal a esse plano. O vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial de e .
Calculando o produto vetorial :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 6:

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos montar a equação do plano .
A equação geral do plano é:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo:
Ou, rearranjando:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do ponto a esse plano. A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
No nosso caso, a equação do plano é , então , , , e .
Substituindo na fórmula:
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A altura do tetraedro em relação à base é unidades.

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Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto é concorrente com a reta e tem vetor diretor ortogonal ao vetor .
Determine a posição relativa e a interseção da reta com o plano nos seguintes casos:
, e .
Determine a matriz quadrada , de ordem 4 , cujos elementos são dados por:
Considere a reta
e determine:
um vetor diretor de ;