Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto
é concorrente com a reta
e tem vetor diretor ortogonal ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que:
- Passa pelo ponto
. - Interseca a reta
, onde . - Tem um vetor diretor que é ortogonal ao vetor
.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço, como equações de retas e vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas. Chamaremos a reta que queremos encontrar de
e a reta dada de
.
A reta
passa por
e por um ponto
que está na reta
. A equação da reta
é dada por:
Isso significa que qualquer ponto
na reta
pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. Esse vetor vai de
até
, então:
Passo 4
Sabemos que o vetor diretor
da reta
é ortogonal ao vetor
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 5
Com
, encontramos o ponto
na reta
:
Passo 6
Agora que temos os pontos
e
, podemos encontrar o vetor diretor
da reta
:
Passo 7
Podemos simplificar o vetor diretor
dividindo por 3:
Assim, a equação vetorial da reta
é:
Resposta
A equação vetorial da reta é: