Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto é concorrente com a reta e tem vetor diretor ortogonal ao vetor .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que: 1. Passa pelo ponto . 2. Interseca a reta , onde . 3. Tem um vetor diretor que é ortogonal ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço, como equações de retas e vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas. Chamaremos a reta que queremos encontrar de e a reta dada de . A reta passa por e por um ponto que está na reta . A equação da reta é dada por: Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta . Esse vetor vai de até , então:

Passo 4

Sabemos que o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então: Calculando o produto escalar: Simplificando:

Passo 5

Com , encontramos o ponto na reta :

Passo 6

Agora que temos os pontos e , podemos encontrar o vetor diretor da reta :

Passo 7

Podemos simplificar o vetor diretor dividindo por 3: Assim, a equação vetorial da reta é:

Resposta

A equação vetorial da reta é:

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Determine a posição relativa e a interseção da reta com o plano nos seguintes casos: , e .
Determine uma equação geral do plano que é paralelo ao plano e que passa pelo ponto .
Considere o tetraedro de vértices e . Determine a altura do tetraedro em relação à base ;
Determine a matriz quadrada , de ordem 4 , cujos elementos são dados por: $$ a_{i j}=\left\{\begin{array}{l} 3 i-j, \text { se } ij \end{array}\right. $$