Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto é concorrente com a reta e tem vetor diretor ortogonal ao vetor .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que:
1. Passa pelo ponto .
2. Interseca a reta , onde .
3. Tem um vetor diretor que é ortogonal ao vetor .
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço, como equações de retas e vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas. Chamaremos a reta que queremos encontrar de e a reta dada de .
A reta passa por e por um ponto que está na reta . A equação da reta é dada por:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta . Esse vetor vai de até , então:
Passo 4
Sabemos que o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 5
Com , encontramos o ponto na reta :
Passo 6
Agora que temos os pontos e , podemos encontrar o vetor diretor da reta :
Passo 7
Podemos simplificar o vetor diretor dividindo por 3:
Assim, a equação vetorial da reta é: