Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto P0=(1,2,3) é concorrente com a reta s: P=(-1,3,5)+lambda(2,5,1), lambda in R e tem vetor diretor ortogonal ao vetor u=(0,1,-4).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que:
  1. Passa pelo ponto .
  2. Interseca a reta , onde .
  3. Tem um vetor diretor que é ortogonal ao vetor .
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço, como equações de retas e vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas. Chamaremos a reta que queremos encontrar de P = (-1, 3, 5) + lambda(2, 5, 1) e a reta dada de Q = (-1 + 2lambda, 3 + 5lambda, 5 + lambda) .
A reta passa por e por um ponto que está na reta . A equação da reta é dada por:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta d = Q - P0 = ((-1 + 2lambda) - 1, (3 + 5lambda) - 2, (5 + lambda) - 3) = (-2 + 2lambda, 1 + 5lambda, 2 + lambda) . Esse vetor vai de até , então:

Passo 4

Sabemos que o vetor diretor d cdot u = 0 da reta (-2 + 2lambda)(0) + (1 + 5lambda)(1) + (2 + lambda)(-4) = 0 é ortogonal ao vetor 0 + 1 + 5lambda - 8 - 4lambda = 0 Rightarrow (5lambda - 4lambda) + (1 - 8) = 0 Rightarrow lambda - 7 = 0 Rightarrow lambda = 7 . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Passo 5

Com Q = (-1 + 2 times 7, 3 + 5 times 7, 5 + 7) = (-1 + 14, 3 + 35, 12) = (13, 38, 12) , encontramos o ponto na reta :

Passo 6

Agora que temos os pontos d = Q - P0 = (13 - 1, 38 - 2, 12 - 3) = (12, 36, 9) e , podemos encontrar o vetor diretor da reta :

Passo 7

Podemos simplificar o vetor diretor d = (4, 12, 3) dividindo por 3:
r: P = (1, 2, 3) + mu(4, 12, 3), mu in R
Assim, a equação vetorial da reta é:

Resposta

A equação vetorial da reta é:
P = (1, 2, 3) + mu, (4, 12, 3), mu in R

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