Considere o tetraedro de vértices e . Determine
o volume do tetraedro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tetraedro, que é uma figura geométrica com quatro vértices no espaço tridimensional. Os vértices são , , e . Nosso objetivo é determinar o volume desse tetraedro.
Passo 2
Para calcular o volume de um tetraedro no espaço, usamos a fórmula que envolve o determinante de uma matriz composta pelos vetores que formam as arestas do tetraedro a partir de um vértice comum. A fórmula é:
Onde , e são os vetores que formam as arestas do tetraedro a partir de um vértice comum.
Passo 3
Escolhemos um ponto comum como PQ = Q - P = (7-1, 4-2, 3-1) = (6, 2, 2) . Agora, calculamos os vetores PR = R - P = (4-1, 6-2, 2-1) = (3, 4, 1) , PS = S - P = (3-1, 3-2, 3-1) = (2, 1, 2) e :
Passo 4
Substituímos esses vetores na matriz para calcular o determinante:
det 6 & 2 & 2 3 & 4 & 1 2 & 1 & 2
Passo 5
Calculamos o determinante dessa matriz:
det = 6 times (4 times 2 - 1 times 1) - 2 times (3 times 2 - 1 times 2) + 2 times (3 times 1 - 4 times 2)
det = 6 times (8 - 1) - 2 times (6 - 2) + 2 times (3 - 8)