Considere o tetraedro de vértices P=(1,2,1), Q=(7,4,3), R=(4,6,2) e S= (3,3,3). Determine
o volume do tetraedro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tetraedro, que é uma figura geométrica com quatro vértices no espaço tridimensional. Os vértices são , , e . Nosso objetivo é determinar o volume desse tetraedro.

Passo 2

Para calcular o volume de um tetraedro no espaço, usamos a fórmula que envolve o determinante de uma matriz composta pelos vetores que formam as arestas do tetraedro a partir de um vértice comum. A fórmula é:
V = 16 | det x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 |
Onde , e são os vetores que formam as arestas do tetraedro a partir de um vértice comum.

Passo 3

Escolhemos um ponto comum como PQ = Q - P = (7-1, 4-2, 3-1) = (6, 2, 2) . Agora, calculamos os vetores PR = R - P = (4-1, 6-2, 2-1) = (3, 4, 1) , PS = S - P = (3-1, 3-2, 3-1) = (2, 1, 2) e :

Passo 4

Substituímos esses vetores na matriz para calcular o determinante:
det 6 & 2 & 2 3 & 4 & 1 2 & 1 & 2

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz:
det = 6 times (4 times 2 - 1 times 1) - 2 times (3 times 2 - 1 times 2) + 2 times (3 times 1 - 4 times 2)
det = 6 times (8 - 1) - 2 times (6 - 2) + 2 times (3 - 8)
det = 6 times 7 - 2 times 4 + 2 times (-5)
det = 42 - 8 - 10 = 24

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do volume:
V = 16 times |24| = 246 = 4

Resposta

O volume do tetraedro é 4 unidades cúbicas.

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