Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:
r: P=(0,-1,3)+lambda(-1,2,-1), lambda in R e s:lx=3+2 lambda y=-1-4 lambda z=3+2 lambda lambda in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a posição relativa de duas retas no espaço. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se as retas e são paralelas, se elas se cruzam (intersectam) ou se são chamadas de “escuras” (não se intersectam e não são paralelas). Para isso, vamos usar vetores diretores das retas e verificar algumas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta P = (0, -1, 3) + lambda (-1, 2, -1) está dada por:
x = 3 + 2mu y = -1 - 4mu z = 3 + 2mu
Aqui, o vetor diretor é .
A reta está dada por:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores diretores são proporcionais, ou seja, se existe um número -1 = 2k 2 = -4k -1 = 2k tal que . Se existisse, as retas seriam paralelas.
Vamos comparar cada componente:
Da primeira equação, .
Da segunda, .
Da terceira, também .
Como todas as componentes dão o mesmo valor para , os vetores são proporcionais. Portanto, as retas e são paralelas.

Passo 4

Mesmo sendo paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou são retas diferentes. Para isso, vamos testar se um ponto de uma reta pertence à outra reta.
Vamos pegar o ponto 0 = 3 + 2mu -1 = -1 - 4mu 3 = 3 + 2mu da reta e ver se ele pertence à reta .
Pela reta :
Da primeira equação, então .
Da segunda equação, então .
Como os valores de não são iguais, o ponto não pertence à reta . Portanto, as retas são paralelas e distintas.

Resposta

As retas e são paralelas e distintas, ou seja, não se intersectam, mas têm a mesma direção.

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