Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações: (I) é inversível; (II) é inversível; (III) . Quais delas são verdadeiras? a. Somente . b. Somente . c. Somente . d. Somente e . e. Todas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre matrizes quadradas e de ordem que satisfazem a condição . Precisamos analisar três afirmações sobre essas matrizes e descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes inversíveis e a comutatividade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Nossa primeira afirmação é que é inversível. Vamos verificar isso. Sabemos que . Podemos rearranjar essa equação: Isso sugere uma relação entre e . Para ser inversível, devemos ter que . A partir da equação , se não for inversível, implicaria que , o que não é o caso aqui. Portanto, é inversível.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda afirmação: é inversível. Usando a mesma lógica, rearranjamos a equação inicial: Analogamente, para ser inversível, precisamos que . Seguindo a relação derivada, isso também é verdade, então é inversível.

Passo 5

A terceira afirmação é que , ou seja, e comutam. Vamos verificar isso. Da equação , podemos tentar isolar ou , mas não conseguimos provar diretamente que . De fato, nem sempre duas matrizes que satisfazem essa equação vão comutar. Portanto, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.

Resposta

A opção correta é **d. Somente e **.

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