Sejam A e B matrizes N times N que satisfazem o seguinte: A+B=A B. Considere as seguintes afirmações:
(I) IN-B é inversível;
(II) IN-A é inversível;
(III) A B=B A.
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente I.
b. Somente I I.
c. Somente I I I.
d. Somente I e I I.
e. Todas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre matrizes quadradas e de ordem que satisfazem a condição . Precisamos analisar três afirmações sobre essas matrizes e descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes inversíveis e a comutatividade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Nossa primeira afirmação é que A + B = AB Rightarrow A = AB - B = B(A - I) é inversível. Vamos verificar isso. Sabemos que . Podemos rearranjar essa equação:
Isso sugere uma relação entre e . Para ser inversível, devemos ter que . A partir da equação , se não for inversível, implicaria que , o que não é o caso aqui. Portanto, é inversível.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda afirmação: A + B = AB Rightarrow B = AB - A = A(B - I) é inversível. Usando a mesma lógica, rearranjamos a equação inicial:
Analogamente, para ser inversível, precisamos que . Seguindo a relação derivada, isso também é verdade, então é inversível.

Passo 5

A terceira afirmação é que , ou seja, e comutam. Vamos verificar isso. Da equação , podemos tentar isolar ou , mas não conseguimos provar diretamente que . De fato, nem sempre duas matrizes que satisfazem essa equação vão comutar. Portanto, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.

Resposta

A opção correta é d. Somente e .

Exercícios relacionados