Sejam
e
matrizes
que satisfazem o seguinte:
. Considere as seguintes afirmações:
(I)
é inversível;
(II)
é inversível;
(III)
.
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente
.
b. Somente
.
c. Somente
.
d. Somente
e
.
e. Todas.
(I)
(II)
(III)
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente
b. Somente
c. Somente
d. Somente
e. Todas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre matrizes quadradas
e
de ordem
que satisfazem a condição
. Precisamos analisar três afirmações sobre essas matrizes e descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes inversíveis e a comutatividade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Nossa primeira afirmação é que
é inversível. Vamos verificar isso. Sabemos que
. Podemos rearranjar essa equação:
Isso sugere uma relação entre
e
. Para
ser inversível, devemos ter que
. A partir da equação
, se
não for inversível, implicaria que
, o que não é o caso aqui. Portanto,
é inversível.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda afirmação:
é inversível. Usando a mesma lógica, rearranjamos a equação inicial:
Analogamente, para
ser inversível, precisamos que
. Seguindo a relação derivada, isso também é verdade, então
é inversível.
Passo 5
A terceira afirmação é que
, ou seja,
e
comutam. Vamos verificar isso. Da equação
, podemos tentar isolar
ou
, mas não conseguimos provar diretamente que
. De fato, nem sempre duas matrizes que satisfazem essa equação vão comutar. Portanto, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.
Resposta
A opção correta é d. Somente
e
.