Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
(I) é inversível;
(II) é inversível;
(III) .
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente .
b. Somente .
c. Somente .
d. Somente e .
e. Todas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre matrizes quadradas e de ordem que satisfazem a condição . Precisamos analisar três afirmações sobre essas matrizes e descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes inversíveis e a comutatividade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Nossa primeira afirmação é que é inversível. Vamos verificar isso. Sabemos que . Podemos rearranjar essa equação:
Isso sugere uma relação entre e . Para ser inversível, devemos ter que . A partir da equação , se não for inversível, implicaria que , o que não é o caso aqui. Portanto, é inversível.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda afirmação: é inversível. Usando a mesma lógica, rearranjamos a equação inicial:
Analogamente, para ser inversível, precisamos que . Seguindo a relação derivada, isso também é verdade, então é inversível.
Passo 5
A terceira afirmação é que , ou seja, e comutam. Vamos verificar isso. Da equação , podemos tentar isolar ou , mas não conseguimos provar diretamente que . De fato, nem sempre duas matrizes que satisfazem essa equação vão comutar. Portanto, essa afirmação não é necessariamente verdadeira.