Verifique que |lll1 & a^2 & a^3 1 & b^2 & b^3 1 & c^2 & c^3|=|cccb c & a & a^2 c a & b & b^2 a b & c & c^2|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de outra matriz. Isso envolve a matéria de determinantes, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 3x3 e usar algumas propriedades básicas dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da primeira matriz:
1 & a^2 & a^3 1 & b^2 & b^3 1 & c^2 & c^3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui porque é direta.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus, multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos os produtos das diagonais secundárias:
1 cdot b^2 cdot c^3 + a^2 cdot b^3 cdot 1 + a^3 cdot 1 cdot c^2 - (a^3 cdot b^2 cdot 1 + 1 cdot b^3 cdot c^2 + a^2 cdot 1 cdot c^3)
Simplificando isso:
b^2c^3 + a^2b^3 + a^3c^2 - a^3b^2 - b^3c^2 - a^2c^3
Perceba que alguns termos se cancelam:
b^2c^3 - a^2c^3 + a^2b^3 - a^3b^2 + a^3c^2 - b^3c^2
Podemos fatorar:
c^3(b^2 - a^2) + b^3(a^2 - c^2) + a^3(c^2 - b^2)

Passo 4

Vamos agora calcular o determinante da segunda matriz:
b c & a & a^2 c a & b & b^2 a b & c & c^2
Usando a mesma regra de Sarrus:
b c cdot b cdot c^2 + a cdot b^2 cdot a b + a^2 cdot c a cdot c - (a^2 cdot b cdot a b + b c cdot b^2 cdot c + a cdot c a cdot c^2)
Simplificando:
b^2c^3 + a^2b^3 + a^3c^2 - a^3b^2 - b^3c^2 - a^2c^3
Notamos que obtemos a mesma expressão do primeiro determinante:
b^2c^3 + a^2b^3 + a^3c^2 - a^3b^2 - b^3c^2 - a^2c^3

Resposta

Assim, verificamos que os dois determinantes são iguais:

[
1 & a^2 & a^3 1 & b^2 & b^3 1 & c^2 & c^3 = b c & a & a^2 c a & b & b^2 a b & c & c^2


]

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