Considere a transformação linear
associada a matriz
Considere o círculo
. Faça uma representação gráfica da imagem do cínculo
pela transformação linear
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
representada pela matriz
e um círculo
. O objetivo é desenhar graficamente como o círculo
fica depois de aplicar a transformação
. Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear e como elas afetam formas geométricas como círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que uma transformação linear faz com o círculo. Uma transformação linear pode alterar a forma de um círculo para outra figura, geralmente uma elipse. Isso acontece porque a transformação pode esticar, comprimir ou girar o círculo.
Passo 3
Para ver como isso acontece, vamos aplicar a matriz
a pontos genéricos do círculo. Um ponto no círculo pode ser representado por
onde
. Após a transformação, o ponto se torna:
Isso significa que cada ponto do círculo é mapeado para um novo ponto de acordo com essa equação.
Passo 4
Para desenhar a imagem do círculo, podemos encontrar como os eixos principais do círculo são transformados. A matriz
tem determinante e autovalores que nos ajudam a entender essa transformação. Vamos encontrar os autovalores de
.
Passo 5
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante
:
Resolvendo isso, temos
e
. Esses autovalores indicam os fatores de esticamento da transformação nos eixos principais.
Passo 6
Com os autovalores, sabemos que o círculo será transformado em uma elipse com semi-eixos de comprimentos
e
. Isso porque a transformação estica o círculo pelos fatores
.
Passo 7
Agora, vamos desenhar a elipse resultante. O semi-eixo maior terá comprimento
e estará na direção do autovetor associado ao autovalor 3. O semi-eixo menor terá comprimento
e estará na direção do autovetor associado ao autovalor 1.
Passo 8
Para finalizar, representamos graficamente a elipse resultante no plano cartesiano, mostrando como o círculo original foi esticado e direcionado pela transformação linear
.
Resposta
A imagem do círculo
pela transformação linear
é uma elipse com semi-eixos de comprimentos
e
, alinhados nas direções dos autovetores da matriz
. Essa elipse representa graficamente como o círculo original foi transformado pela matriz
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois pontos do plano e
um númeror positivo diferente de 1 . Mostre que o conjunto
representa um círculo.
Seja
uma função. Mostre que:
a) Se é uma transformação linear, então
b) Se então
não é uma Transformação Linear.
a) Se
b) Se
Faça o que se pede em cada item: Escreva o vetor
como combinação linear dos vetores
e
Considere os pontos
Quais dos seguintes segmentos
e
são equipolentes?