Considere a transformação linear T: R^2 R^2 associada a matriz
A=[ll 2 & 1 1 & 2 ]
Considere o círculo S=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2=1. Faça uma representação gráfica da imagem do cínculo S pela transformação linear T.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear A=[ll 2 & 1 1 & 2 ] representada pela matriz
e um círculo . O objetivo é desenhar graficamente como o círculo fica depois de aplicar a transformação . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear e como elas afetam formas geométricas como círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que uma transformação linear faz com o círculo. Uma transformação linear pode alterar a forma de um círculo para outra figura, geralmente uma elipse. Isso acontece porque a transformação pode esticar, comprimir ou girar o círculo.

Passo 3

Para ver como isso acontece, vamos aplicar a matriz T(x, y) = A cdot x y = 2x + y x + 2y a pontos genéricos do círculo. Um ponto no círculo pode ser representado por onde . Após a transformação, o ponto se torna:
Isso significa que cada ponto do círculo é mapeado para um novo ponto de acordo com essa equação.

Passo 4

Para desenhar a imagem do círculo, podemos encontrar como os eixos principais do círculo são transformados. A matriz tem determinante e autovalores que nos ajudam a entender essa transformação. Vamos encontrar os autovalores de .

Passo 5

Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante det( 2-lambda & 1 1 & 2-lambda ) = (2-lambda)^2 - 1 = 0 :
Resolvendo isso, temos e . Esses autovalores indicam os fatores de esticamento da transformação nos eixos principais.

Passo 6

Com os autovalores, sabemos que o círculo será transformado em uma elipse com semi-eixos de comprimentos e . Isso porque a transformação estica o círculo pelos fatores .

Passo 7

Agora, vamos desenhar a elipse resultante. O semi-eixo maior terá comprimento e estará na direção do autovetor associado ao autovalor 3. O semi-eixo menor terá comprimento e estará na direção do autovetor associado ao autovalor 1.

Passo 8

Para finalizar, representamos graficamente a elipse resultante no plano cartesiano, mostrando como o círculo original foi esticado e direcionado pela transformação linear .

Resposta

A imagem do círculo pela transformação linear é uma elipse com semi-eixos de comprimentos e , alinhados nas direções dos autovetores da matriz . Essa elipse representa graficamente como o círculo original foi transformado pela matriz .

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