Sejam e dois pontos do plano e um númeror positivo diferente de 1 . Mostre que o conjunto
representa um círculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto de pontos no plano que satisfazem a condição forma um círculo. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a definição de círculos e distâncias entre pontos. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e manipular equações para chegar à forma padrão de um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a distância de qualquer ponto até o ponto é vezes a distância desse mesmo ponto até o ponto .
Passo 3
Vamos colocar isso em termos de coordenadas. Suponha que tenha coordenadas e tenha coordenadas . O ponto tem coordenadas . A fórmula da distância entre dois pontos é:
Passo 4
De acordo com a condição do problema:
Vamos remover as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 6
Distribuímos no lado direito:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Passo 8
Fatoramos os termos semelhantes:
Passo 9
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por (como , isso é válido):
Passo 10
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de um círculo, que é . Para isso, completamos o quadrado nos termos de e :
Completando o quadrado para e , identificamos o centro e o raio do círculo.
Resposta
Portanto, o conjunto forma um círculo no plano, cujo centro e raio podem ser determinados a partir das coordenadas dos pontos e e do valor de .