Sejam
e
dois pontos do plano e
um númeror positivo diferente de 1 . Mostre que o conjunto
representa um círculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto de pontos
no plano que satisfazem a condição
forma um círculo. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a definição de círculos e distâncias entre pontos. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e manipular equações para chegar à forma padrão de um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a distância de qualquer ponto
até o ponto
é
vezes a distância desse mesmo ponto
até o ponto
.
Passo 3
Vamos colocar isso em termos de coordenadas. Suponha que
tenha coordenadas
e
tenha coordenadas
. O ponto
tem coordenadas
. A fórmula da distância entre dois pontos é:
Passo 4
De acordo com a condição do problema:
Vamos remover as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 6
Distribuímos
no lado direito:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Passo 8
Fatoramos os termos semelhantes:
Passo 9
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por
(como
, isso é válido):
Passo 10
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de um círculo, que é
. Para isso, completamos o quadrado nos termos de
e
:
Completando o quadrado para
e
, identificamos o centro e o raio do círculo.
Resposta
Portanto, o conjunto
forma um círculo no plano, cujo centro e raio podem ser determinados a partir das coordenadas dos pontos
e
e do valor de
.