Sejam A e B dois pontos do plano e k um númeror positivo diferente de 1 . Mostre que o conjunto
P mid d(P, A)=k cdot d(P, B)
representa um círculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto de pontos no plano que satisfazem a condição forma um círculo. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a definição de círculos e distâncias entre pontos. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e manipular equações para chegar à forma padrão de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a distância de qualquer ponto até o ponto é vezes a distância desse mesmo ponto até o ponto .

Passo 3

Vamos colocar isso em termos de coordenadas. Suponha que d(P, A) = raiz(x - xA)^2 + (y - yA)^2 tenha coordenadas d(P, B) = raiz(x - xB)^2 + (y - yB)^2 e tenha coordenadas . O ponto tem coordenadas . A fórmula da distância entre dois pontos é:

Passo 4

De acordo com a condição do problema:
raiz(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = k cdot raiz(x - xB)^2 + (y - yB)^2
Vamos remover as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = k^2 cdot [(x - xB)^2 + (y - yB)^2]

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 - 2x xA + xA^2) + (y^2 - 2y yA + yA^2) = k^2 (x^2 - 2x xB + xB^2 + y^2 - 2y yB + yB^2)

Passo 6

Distribuímos x^2 - 2x xA + xA^2 + y^2 - 2y yA + yA^2 = k^2 x^2 - 2k^2 x xB + k^2 xB^2 + k^2 y^2 - 2k^2 y yB + k^2 yB^2 no lado direito:

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
x^2 - k^2 x^2 - 2x xA + 2k^2 x xB + y^2 - k^2 y^2 - 2y yA + 2k^2 y yB + xA^2 + yA^2 - k^2 xB^2 - k^2 yB^2 = 0

Passo 8

Fatoramos os termos semelhantes:
(1 - k^2)x^2 + (1 - k^2)y^2 + (-2xA + 2k^2 xB)x + (-2yA + 2k^2 yB)y + (xA^2 + yA^2 - k^2 xB^2 - k^2 yB^2) = 0

Passo 9

Para simplificar, vamos dividir todos os termos por x^2 + y^2 + ( -2xA + 2k^2 xB1 - k^2 ) x + ( -2yA + 2k^2 yB1 - k^2 ) y + ( xA^2 + yA^2 - k^2 xB^2 - k^2 yB^21 - k^2 ) = 0 (como , isso é válido):

Passo 10

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão de um círculo, que é x^2 + ( -2xA + 2k^2 xB1 - k^2 ) x + y^2 + ( -2yA + 2k^2 yB1 - k^2 ) y = -( xA^2 + yA^2 - k^2 xB^2 - k^2 yB^21 - k^2 ) . Para isso, completamos o quadrado nos termos de e :
Completando o quadrado para e , identificamos o centro e o raio do círculo.

Resposta

Portanto, o conjunto forma um círculo no plano, cujo centro e raio podem ser determinados a partir das coordenadas dos pontos e e do valor de .

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