Seja
uma função. Mostre que:
a) Se
é uma transformação linear, então
b) Se
então
não é uma Transformação Linear.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas afirmações sobre transformações lineares entre espaços vetoriais
e
. O conteúdo aborda transformações lineares, que são funções que preservam a adição e a multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma transformação linear e aplicar essas propriedades para provar as afirmações.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Se
é uma transformação linear, então
.
Uma transformação linear
deve satisfazer duas propriedades principais:
- Preservação da adição:
para todos . - Preservação da multiplicação por escalar:
para todo escalar e todo .
Vamos usar essas propriedades para provar que
.
Passo 3
Primeiro, consideramos o vetor zero em
, denotado por
. Sabemos que para qualquer vetor
,
. Vamos aplicar a transformação linear
a ambos os lados dessa igualdade:
Passo 4
Pela propriedade de preservação da adição das transformações lineares, temos:
Portanto, combinando com a igualdade anterior:
Passo 5
Agora, subtraímos
de ambos os lados da equação:
Simplificando:
Passo 6
Portanto, demonstramos que se
é uma transformação linear, então
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): Se
, então
não é uma transformação linear.
Para provar isso, vamos assumir que
e mostrar que
não pode ser uma transformação linear.
Passo 8
Lembrando que para
ser linear, deve satisfazer
, como vimos na parte a). Se
, isso viola uma das propriedades essenciais de uma transformação linear.
Passo 9
Portanto, se
, então a propriedade de preservação do vetor zero não é satisfeita, o que significa que
não pode ser uma transformação linear.
Resposta
a) Se
é uma transformação linear, então
.
b) Se
, então
não é uma transformação linear.