Seja T: V W uma função. Mostre que:
a) Se T é uma transformação linear, então T(0V)=0W
b) Se T(0V) neq 0W então T não é uma Transformação Linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas afirmações sobre transformações lineares entre espaços vetoriais e . O conteúdo aborda transformações lineares, que são funções que preservam a adição e a multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma transformação linear e aplicar essas propriedades para provar as afirmações.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Se é uma transformação linear, então .
Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Preservação da adição: para todos .
  2. Preservação da multiplicação por escalar: para todo escalar e todo .
Vamos usar essas propriedades para provar que .

Passo 3

Primeiro, consideramos o vetor zero em T(v + 0V) = T(v) , denotado por . Sabemos que para qualquer vetor , . Vamos aplicar a transformação linear a ambos os lados dessa igualdade:

Passo 4

Pela propriedade de preservação da adição das transformações lineares, temos:
T(v + 0V) = T(v) + T(0V)
Portanto, combinando com a igualdade anterior:
T(v) + T(0V) = T(v)

Passo 5

Agora, subtraímos T(v) + T(0V) - T(v) = T(v) - T(v) de ambos os lados da equação:
T(0V) = 0W
Simplificando:

Passo 6

Portanto, demonstramos que se é uma transformação linear, então .

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): Se , então não é uma transformação linear.
Para provar isso, vamos assumir que e mostrar que não pode ser uma transformação linear.

Passo 8

Lembrando que para ser linear, deve satisfazer , como vimos na parte a). Se , isso viola uma das propriedades essenciais de uma transformação linear.

Passo 9

Portanto, se , então a propriedade de preservação do vetor zero não é satisfeita, o que significa que não pode ser uma transformação linear.

Resposta

a) Se é uma transformação linear, então .
b) Se , então não é uma transformação linear.

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