Seja uma função. Mostre que:
a) Se é uma transformação linear, então
b) Se então não é uma Transformação Linear.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas afirmações sobre transformações lineares entre espaços vetoriais e . O conteúdo aborda transformações lineares, que são funções que preservam a adição e a multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma transformação linear e aplicar essas propriedades para provar as afirmações.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Se é uma transformação linear, então .
Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
Preservação da adição: para todos .
Preservação da multiplicação por escalar: para todo escalar e todo .
Vamos usar essas propriedades para provar que .
Passo 3
Primeiro, consideramos o vetor zero em , denotado por . Sabemos que para qualquer vetor , . Vamos aplicar a transformação linear a ambos os lados dessa igualdade:
Passo 4
Pela propriedade de preservação da adição das transformações lineares, temos:
Portanto, combinando com a igualdade anterior:
Passo 5
Agora, subtraímos de ambos os lados da equação:
Simplificando:
Passo 6
Portanto, demonstramos que se é uma transformação linear, então .
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): Se , então não é uma transformação linear.
Para provar isso, vamos assumir que e mostrar que não pode ser uma transformação linear.
Passo 8
Lembrando que para ser linear, deve satisfazer , como vimos na parte a). Se , isso viola uma das propriedades essenciais de uma transformação linear.
Passo 9
Portanto, se , então a propriedade de preservação do vetor zero não é satisfeita, o que significa que não pode ser uma transformação linear.