Faça o que se pede em cada item: Escreva o vetor u=(1,-3,10) como combinação linear dos vetores v1= (1,0,0), v2=(1,1,0) e v3=(2,-3,5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor u = (1, -3, 10) e queremos escrevê-lo como uma combinação linear de três vetores: v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (2, -3, 5). Isso significa que buscamos encontrar números (coeficientes) a, b e c tal que:
u = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os vetores na equação:
(1, -3, 10) = a cdot (1, 0, 0) + b cdot (1, 1, 0) + c cdot (2, -3, 5)
Isso dá para a gente:
(1, -3, 10) = (a + b + 2c,; 0 + b - 3c,; 0 + 0 + 5c)
Simplificando, temos o sistema de equações:
a + b + 2c = 1 b - 3c = -3 5c = 10

Passo 3

Vamos resolver o sistema começando pela última equação, que é mais simples:
5c = 10
Dividindo ambos os lados por 5, encontramos:
c = 2

Passo 4

Agora que já sabemos que c = 2, vamos substituir esse valor na segunda equação do sistema:
b - 3c = -3 b - 3(2) = -3 b - 6 = -3
Somando 6 em ambos os lados:
b = 3

Passo 5

Com os valores de b e c encontrados, vamos substituir na primeira equação para encontrar a:
a + b + 2c = 1 a + 3 + 2(2) = 1 a + 3 + 4 = 1 a + 7 = 1
Subtraindo 7 de ambos os lados:
a = 1 - 7 a = -6

Resposta

Portanto, o vetor u = (1, -3, 10) pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 da seguinte forma:
u = -6 cdot v1 + 3 cdot v2 + 2 cdot v3

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