Considere a Transformação Linear dada por . Encontre uma Base Ortonormal para o Subespaço (Em relação ao Produto Interno Usual de ).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortonormal para o subespaço imagem dessa transformação, usando o produto interno usual em . Para isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear, encontrar uma base para ela e depois aplicar o processo de ortonormalização.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a imagem da transformação . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular isso na prática. Aplicando a um vetor qualquer , temos:
Então, todos os vetores na imagem de têm a forma , onde são números reais.

Passo 4

Agora, queremos expressar de uma forma que facilite encontrar uma base. Observando a forma , podemos ver que o primeiro e o terceiro componentes são iguais e o segundo componente é independente. Isso sugere que podemos parametrizar a imagem com duas variáveis livres.
Vamos chamar e , onde . Assim, podemos reescrever a imagem como:
Isso mostra que é um subespaço bidimensional de .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma base para esse subespaço. Observando a parametrização, podemos escolher dois vetores que gerem todos os vetores da imagem. Por exemplo:
Esses vetores são linearmente independentes e qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 6

Com a base em mãos, vamos agora transformar essa base em uma base ortonormal usando o Processo de Gram-Schmidt. Primeiro, vamos normalizar .
O comprimento de é:
Assim, o primeiro vetor da base ortonormal é:
Agora, vamos ortogonalizar em relação a . Calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero, já é ortogonal a . Agora, vamos normalizar :
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal para o subespaço é:

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Determinar (distinto do polinômio nulo) que seja ortogonal a e ortogonal a , em relação ao produto interno dado por:
Consideremos no espaço vetorial o produto interno dado por . Verificar se e são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
a) e
b) e
c) e .

Representa uma reta que passa pela origem.
Seja definido por . Encontre a matriz associada a em relação à Base .