Considere a Transformação Linear dada por
. Encontre uma Base Ortonormal para o Subespaço
(Em relação ao Produto Interno Usual de
).
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortonormal para o subespaço imagem dessa transformação, usando o produto interno usual em
. Para isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear, encontrar uma base para ela e depois aplicar o processo de ortonormalização.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é a imagem da transformação
. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a qualquer vetor de
. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular isso na prática. Aplicando
a um vetor qualquer
, temos:
Então, todos os vetores na imagem de
têm a forma
, onde
são números reais.
Passo 4
Agora, queremos expressar
de uma forma que facilite encontrar uma base. Observando a forma
, podemos ver que o primeiro e o terceiro componentes são iguais e o segundo componente é independente. Isso sugere que podemos parametrizar a imagem com duas variáveis livres.
Vamos chamar
e
, onde
. Assim, podemos reescrever a imagem como:
Isso mostra que
é um subespaço bidimensional de
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma base para esse subespaço. Observando a parametrização, podemos escolher dois vetores que gerem todos os vetores da imagem. Por exemplo:
Esses vetores são linearmente independentes e qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Passo 6
Com a base
em mãos, vamos agora transformar essa base em uma base ortonormal usando o Processo de Gram-Schmidt. Primeiro, vamos normalizar
.
O comprimento de
é:
Assim, o primeiro vetor da base ortonormal é:
Agora, vamos ortogonalizar
em relação a
. Calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero,
já é ortogonal a
. Agora, vamos normalizar
:
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal para o subespaço
é:
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Determinar
(distinto do polinômio nulo) que seja ortogonal a
e ortogonal a
, em relação ao produto interno dado por:
Consideremos no espaço vetorial
o produto interno dado por
. Verificar se
e
são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
a) e
b) e
c) e
.
a)
b)
c)
Representa uma reta que passa pela origem.
Seja
definido por
. Encontre a matriz associada a
em relação à Base
.