Considere a Transformação Linear dada por T(x, y, z)=(z, x-y, z). Encontre uma Base Ortonormal para o Subespaço Im(T) (Em relação ao Produto Interno Usual de R^3 ).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base ortonormal para o subespaço imagem dessa transformação, usando o produto interno usual em . Para isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear, encontrar uma base para ela e depois aplicar o processo de ortonormalização.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a imagem da transformação Im(T) = , T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 , . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular isso na prática. Aplicando T(x, y, z) = (z, x - y, z) a um vetor qualquer , temos:
Então, todos os vetores na imagem de têm a forma , onde são números reais.

Passo 4

Agora, queremos expressar Im(T) = , (a, b, a) mid a, b in R , de uma forma que facilite encontrar uma base. Observando a forma , podemos ver que o primeiro e o terceiro componentes são iguais e o segundo componente é independente. Isso sugere que podemos parametrizar a imagem com duas variáveis livres.
Vamos chamar e , onde . Assim, podemos reescrever a imagem como:
Isso mostra que é um subespaço bidimensional de .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma base para esse subespaço. Observando a parametrização, podemos escolher dois vetores que gerem todos os vetores da imagem. Por exemplo:
v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 1, 0)
Esses vetores são linearmente independentes e qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 6

Com a base |v1| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2 em mãos, vamos agora transformar essa base em uma base ortonormal usando o Processo de Gram-Schmidt. Primeiro, vamos normalizar u1 = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) .
O comprimento de v2 cdot u1 = 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1raiz2 = 0 é:
|v2| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
Assim, o primeiro vetor da base ortonormal é:
u2 = (0, 1, 0)
Agora, vamos ortogonalizar em relação a . Calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero, já é ortogonal a . Agora, vamos normalizar :
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal para o subespaço , ( dfrac1raiz2,; 0,; dfrac1raiz2 ),; ( 0,; 1,; 0 ) , é:

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