Considere a transformação linear definida por , onde
(a) Determine uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo da transformação linear definida por , onde .
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e núcleos de transformações. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todas as matrizes em que satisfazem . Para encontrar uma base e a dimensão desse núcleo, vamos seguir alguns passos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que define o núcleo:
Isso significa que:
onde é a matriz identidade :
Então, calculamos :
Passo 3
Agora, queremos encontrar todas as matrizes que satisfazem:
Multiplicando por :
Isso resulta em um sistema de equações:
(Da segunda linha: )
(Da segunda linha: )
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Da quarta equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 5
Então, todas as entradas de são iguais a zero:
Isso significa que o único elemento no núcleo de é a matriz zero.
Passo 6
Agora, para determinar a base de , precisamos identificar um conjunto de vetores que geram o núcleo e são linearmente independentes. No nosso caso, o núcleo contém apenas a matriz zero, o que significa que a base é o conjunto vazio.
A dimensão do núcleo, que é o número de vetores na base, é 0.