Considere a transformação linear T: M(2,2) M(2,2) definida por T(X)=A X+X, onde A=[ll1 & 1 0 & 0]
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo da transformação linear 1 & 1 0 & 0 definida por , onde .
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e núcleos de transformações. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todas as matrizes em que satisfazem . Para encontrar uma base e a dimensão desse núcleo, vamos seguir alguns passos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que define o núcleo:
T(X) = A X + X = 0
Isso significa que:
(A + I)X = 0
onde I = 1 & 0 0 & 1 é a matriz identidade A + I = 1 & 1 0 & 0 + 1 & 0 0 & 1 = 2 & 1 0 & 1 :
Então, calculamos :

Passo 3

Agora, queremos encontrar todas as matrizes x11 & x12 x21 & x22 que satisfazem:
(A + I)X = 0
Multiplicando 2 & 1 0 & 1 x11 & x12 x21 & x22 = 0 & 0 0 & 0 por :
Isso resulta em um sistema de equações:
  1. (Da segunda linha: )
  2. (Da segunda linha: )

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da terceira equação:
x21 = 0
Substituindo na primeira equação:
2x11 + 0 = 0 Rightarrow x11 = 0
Da quarta equação:
x22 = 0
Substituindo na segunda equação:
2x12 + 0 = 0 Rightarrow x12 = 0

Passo 5

Então, todas as entradas de X = 0 & 0 0 & 0 são iguais a zero:
Isso significa que o único elemento no núcleo de é a matriz zero.

Passo 6

Agora, para determinar a base de , precisamos identificar um conjunto de vetores que geram o núcleo e são linearmente independentes. No nosso caso, o núcleo contém apenas a matriz zero, o que significa que a base é o conjunto vazio.
A dimensão do núcleo, que é o número de vetores na base, é 0.

Resposta

A base de é o conjunto vazio e a dimensão é 0.

Exercícios relacionados