Considere a transformação linear
definida por
, onde
(a) Determine uma base e a dimensão de
.
(a) Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo da transformação linear
definida por
, onde
.
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e núcleos de transformações. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todas as matrizes
em
que satisfazem
. Para encontrar uma base e a dimensão desse núcleo, vamos seguir alguns passos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que define o núcleo:
Isso significa que:
onde
é a matriz identidade
:
Então, calculamos
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar todas as matrizes
que satisfazem:
Multiplicando
por
:
Isso resulta em um sistema de equações:
-
-
-
(Da segunda linha: ) -
(Da segunda linha: )
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Da quarta equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 5
Então, todas as entradas de
são iguais a zero:
Isso significa que o único elemento no núcleo de
é a matriz zero.
Passo 6
Agora, para determinar a base de
, precisamos identificar um conjunto de vetores que geram o núcleo e são linearmente independentes. No nosso caso, o núcleo contém apenas a matriz zero, o que significa que a base é o conjunto vazio.
A dimensão do núcleo, que é o número de vetores na base, é 0.
Resposta
A base de
é o conjunto vazio
e a dimensão é 0.