Considere a transformação linear T: M(2,2) M(2,2) definida por T(X)=A X+X, onde A=[ll1 & 1 0 & 0]
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base e a dimensão do núcleo da transformação linear 1 & 1 0 & 0 definida por , onde .
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e núcleos de transformações. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todas as matrizes em que satisfazem . Para encontrar uma base e a dimensão desse núcleo, vamos seguir alguns passos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que define o núcleo:
T(X) = A X + X = 0
Isso significa que:
(A + I)X = 0
onde I = 1 & 0 0 & 1 é a matriz identidade A + I = 1 & 1 0 & 0 + 1 & 0 0 & 1 = 2 & 1 0 & 1 :
Então, calculamos :

Passo 3

Agora, queremos encontrar todas as matrizes x11 & x12 x21 & x22 que satisfazem:
(A + I)X = 0
Multiplicando 2 & 1 0 & 1 x11 & x12 x21 & x22 = 0 & 0 0 & 0 por :
Isso resulta em um sistema de equações:
  1. (Da segunda linha: )
  2. (Da segunda linha: )

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da terceira equação:
x21 = 0
Substituindo na primeira equação:
2x11 + 0 = 0 Rightarrow x11 = 0
Da quarta equação:
x22 = 0
Substituindo na segunda equação:
2x12 + 0 = 0 Rightarrow x12 = 0

Passo 5

Então, todas as entradas de X = 0 & 0 0 & 0 são iguais a zero:
Isso significa que o único elemento no núcleo de é a matriz zero.

Passo 6

Agora, para determinar a base de , precisamos identificar um conjunto de vetores que geram o núcleo e são linearmente independentes. No nosso caso, o núcleo contém apenas a matriz zero, o que significa que a base é o conjunto vazio.
A dimensão do núcleo, que é o número de vetores na base, é 0.

Resposta

A base de é o conjunto vazio e a dimensão é 0.

Exercícios relacionados

Dados os subespaços U=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3 mid x=0, determinar o subespaço U cup V.
Determinar os valores de a e b que tornam o sistema abaixo possível e determinado. Em seguida, resolva o sistema.
S: 3 x-7 y & =a x+y & =b 5 x+3 y & =5 a+2 b x+2 y & =a+b+1
Dica: A classificação da solução de um sistema está relacionada com o determinante de sua matriz dos coeficientes. Desse modo, temos que:
  • Quando o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema é diferente de zero (det A neq 0), podemos afirmar que tal sistema é possível e determinado.
  • Caso o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema for igual a zero (det A=0), só podmos dizer que tal sistema não é possível e determinado. Ou seja, ou é um sistema impossível ou é um sistema possível e indeterminado
Sejam as matrizes A=[ai j]3 times 3=i+2 j e B=[bi j]3 times 3=4 i+5 j+3.
Calcule A B e B A e responda: as matrizes A e B comutam? (A B=B A)
Seja V=u in R mid u>0. Suponhamos que consideremos a adição em V como sendo a multiplicação de números reais positivos, isto é,
u oplus v=u v para todos u, v in V
e que a multiplicação de um elemento de V por um número real seja dada por
alpha u=u^alpha para todos u in V, alpha in R
Mostre que V, com as operações definidas é um espaço vetorial sobre R.