Sejam as matrizes A=[ai j]3 times 3=i+2 j e B=[bi j]3 times 3=4 i+5 j+3.
Calcule A B e B A e responda: as matrizes A e B comutam? (A B=B A)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto das matrizes e , ou seja, e . Depois disso, vamos ver se essas matrizes comutam, ou seja, se . Para isso, vamos usar as regras básicas de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são as matrizes A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 = 1+2(1) & 1+2(2) & 1+2(3) 2+2(1) & 2+2(2) & 2+2(3) 3+2(1) & 3+2(2) & 3+2(3) = 3 & 5 & 7 4 & 6 & 8 5 & 7 & 9 e B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 = 4(1)+5(1)+3 & 4(1)+5(2)+3 & 4(1)+5(3)+3 4(2)+5(1)+3 & 4(2)+5(2)+3 & 4(2)+5(3)+3 4(3)+5(1)+3 & 4(3)+5(2)+3 & 4(3)+5(3)+3 = 12 & 17 & 22 13 & 18 & 23 14 & 19 & 24 :

Passo 3

Agora, vamos calcular AB = A times B = 3 & 5 & 7 4 & 6 & 8 5 & 7 & 9 times 12 & 17 & 22 13 & 18 & 23 14 & 19 & 24 . A multiplicação de matrizes funciona assim: para cada elemento c11 = 3 times 12 + 5 times 13 + 7 times 14 = 36 + 65 + 98 = 199 de c12 = 3 times 17 + 5 times 18 + 7 times 19 = 51 + 90 + 133 = 274 , a gente multiplica os elementos da linha c13 = 3 times 22 + 5 times 23 + 7 times 24 = 66 + 115 + 168 = 349 da matriz c21 = 4 times 12 + 6 times 13 + 8 times 14 = 48 + 78 + 112 = 238 pelos elementos da coluna c22 = 4 times 17 + 6 times 18 + 8 times 19 = 68 + 108 + 152 = 328 da matriz c23 = 4 times 22 + 6 times 23 + 8 times 24 = 88 + 138 + 192 = 418 e soma tudo.
Vamos fazer isso passo a passo:
c31 = 5 times 12 + 7 times 13 + 9 times 14 = 60 + 91 + 126 = 277
Calculando cada elemento:
c32 = 5 times 17 + 7 times 18 + 9 times 19 = 85 + 126 + 171 = 382
c33 = 5 times 22 + 7 times 23 + 9 times 24 = 110 + 161 + 216 = 487
AB = 199 & 274 & 349 238 & 328 & 418 277 & 382 & 487
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular BA = B times A = 12 & 17 & 22 13 & 18 & 23 14 & 19 & 24 times 3 & 5 & 7 4 & 6 & 8 5 & 7 & 9 . Seguindo o mesmo método:
c11 = 12 times 3 + 17 times 4 + 22 times 5 = 36 + 68 + 110 = 214
Calculando cada elemento:
c12 = 12 times 5 + 17 times 6 + 22 times 7 = 60 + 102 + 154 = 316
c13 = 12 times 7 + 17 times 8 + 22 times 9 = 84 + 136 + 198 = 418
c21 = 13 times 3 + 18 times 4 + 23 times 5 = 39 + 72 + 115 = 226
c22 = 13 times 5 + 18 times 6 + 23 times 7 = 65 + 108 + 161 = 334
c23 = 13 times 7 + 18 times 8 + 23 times 9 = 91 + 144 + 207 = 442
c31 = 14 times 3 + 19 times 4 + 24 times 5 = 42 + 76 + 120 = 238
c32 = 14 times 5 + 19 times 6 + 24 times 7 = 70 + 114 + 168 = 352
c33 = 14 times 7 + 19 times 8 + 24 times 9 = 98 + 152 + 216 = 466
BA = 214 & 316 & 418 226 & 334 & 442 238 & 352 & 466
Então,

Passo 5

Agora que temos AB = 199 & 274 & 349 238 & 328 & 418 277 & 382 & 487 e BA = 214 & 316 & 418 226 & 334 & 442 238 & 352 & 466 e , vamos comparar as duas matrizes:
Observando, vemos que claramente .

Resposta

As matrizes e não comutam, ou seja, .

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alpha u=u^alpha para todos u in V, alpha in R
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0,10 x-0,05 y=0,20
-0,06 x+0,03 y=-0,12