Determinar os valores de a e b que tornam o sistema abaixo possível e determinado. Em seguida, resolva o sistema.
Dica: A classificação da solução de um sistema está relacionada com o determinante de sua matriz dos coeficientes. Desse modo, temos que:
Quando o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema é diferente de zero (det A neq 0), podemos afirmar que tal sistema é possível e determinado.
Caso o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema for igual a zero (det A=0), só podmos dizer que tal sistema não é possível e determinado. Ou seja, ou é um sistema impossível ou é um sistema possível e indeterminado
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações com duas variáveis, e , e queremos encontrar valores para e que tornam esse sistema possível e determinado. Isso significa que o sistema tem uma única solução. Para verificar isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes do sistema.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de equações:
S: 3x - 7y &= a x + y &= b 5x + 3y &= 5a + 2b x + 2y &= a + b + 1
Observamos que são 4 equações com 2 incógnitas. Para que o sistema seja possível e determinado, as equações devem ser consistentes e independentes, o que pode ser verificado pelo determinante da matriz dos coeficientes.
Passo 3
Vamos formar a matriz dos coeficientes considerando as duas variáveis A = 3 & -7 1 & 1 5 & 3 1 & 2 e A = 3 & -7 1 & 1 :
det A = (3)(1) - (-7)(1) = 3 + 7 = 10
Entretanto, para calcular o determinante, precisamos de uma matriz quadrada. Vamos considerar as duas primeiras equações para formar uma matriz 2x2:
O determinante dessa matriz é dado por:
Como , o sistema é possível e determinado, ou seja, possui uma única solução.
Passo 4
Agora que sabemos que o sistema tem uma única solução, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar 3x - 7y = a (1) x + y = b (2) e x = b - y em termos de 3(b - y) - 7y = a 3b - 3y - 7y = a 3b - 10y = a e -10y = a - 3b y = 3b - a10 .
Temos:
x = b - ( 3b - a10 ) = 10b - 3b + a10 = 7b + a10
Vamos resolver a equação (2) para :
Substituímos na equação (1):
Isolando :
Agora, substituímos de volta na equação :
Passo 5
Agora que temos 5x + 3y = 5a + 2b 5( 7b + a10 ) + 3( 3b - a10 ) = 5a + 2b 35b + 5a + 9b - 3a10 = 5a + 2b 44b + 2a10 = 5a + 2b 44b + 2a = 50a + 20b 44b - 20b = 50a - 2a 24b = 48a b = 2a e x + 2y = a + b + 1 7b + a10 + 2( 3b - a10 ) = a + b + 1 7b + a + 6b - 2a10 = a + b + 1 13b - a10 = a + b + 1 13b - a = 10a + 10b + 10 13b - a - 10b = 10a + 10 3b - a = 10a + 10 3b = 11a + 10 em termos de 3(2a) = 11a + 10 6a = 11a + 10 -5a = 10 a = -2 e , vamos substituir esses valores nas outras duas equações para encontrar relações entre e .
Primeira substituição na terceira equação:
Agora, substituímos na quarta equação:
Substituindo :
E .
Passo 6
Agora que encontramos x = 7b + a10 = 7(-4) + (-2)10 = -28 - 210 = -3010 = -3 e y = 3b - a10 = 3(-4) - (-2)10 = -12 + 210 = -1010 = -1 , vamos substituir esses valores nas expressões de e :
Resposta
Os valores que tornam o sistema possível e determinado são e . A solução do sistema é e .