Dados os subespaços
e
, determinar o subespaço
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o subespaço
no espaço tridimensional
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e a união de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são subespaços e como a união deles se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os subespaços
e
:
-
significa que, para qualquer vetor em , as coordenadas e são opostas, ou seja, . -
indica que, para qualquer vetor em , a coordenada é zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar na união
, que inclui todos os vetores que estão em
ou em
. Ou seja, qualquer vetor que satisfaça
ou
estará em
.
Passo 4
Para determinar se
é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades de subespaço:
- Contém o vetor zero: Sim, o vetor
est�� em ambos e . - Fechado sob adição: Precisamos ver se a soma de dois vetores em
também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de
por um escalar, o resultado ainda está em .
Passo 5
Vamos testar a segunda propriedade: fechamento sob adição.
- Se pegarmos um vetor de
, digamos , e um vetor de , como , a soma deles é . - Agora, vamos ver se
está em : - Verificando
: , então não está em . - Verificando
: , então não está em .
- Verificando
Como a soma dos vetores não está em
, isso significa que
não é fechado sob adição.
Resposta
Portanto, o conjunto
não constitui um subespaço de
porque não satisfaz a propriedade de fechamento sob adição.