Dados os subespaços U=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3 mid x=0, determinar o subespaço U cup V.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o subespaço no espaço tridimensional . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e a união de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são subespaços e como a união deles se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os subespaços e :
  • significa que, para qualquer vetor em , as coordenadas e são opostas, ou seja, .
  • indica que, para qualquer vetor em , a coordenada é zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar na união , que inclui todos os vetores que estão em ou em . Ou seja, qualquer vetor que satisfaça ou estará em .

Passo 4

Para determinar se é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades de subespaço:
  1. Contém o vetor zero: Sim, o vetor est�� em ambos e .
  2. Fechado sob adição: Precisamos ver se a soma de dois vetores em também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de por um escalar, o resultado ainda está em .

Passo 5

Vamos testar a segunda propriedade: fechamento sob adição.
  • Se pegarmos um vetor de , digamos , e um vetor de , como , a soma deles é .
  • Agora, vamos ver se está em :
    • Verificando : , então não está em .
    • Verificando : , então não está em .
Como a soma dos vetores não está em , isso significa que não é fechado sob adição.

Resposta

Portanto, o conjunto não constitui um subespaço de porque não satisfaz a propriedade de fechamento sob adição.

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