Seja V=u in R mid u>0. Suponhamos que consideremos a adição em V como sendo a multiplicação de números reais positivos, isto é,
u oplus v=u v para todos u, v in V
e que a multiplicação de um elemento de V por um número real seja dada por
alpha u=u^alpha para todos u in V, alpha in R
Mostre que V, com as operações definidas é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto , com as operações de adição definidas como multiplicação normal ( ) e multiplicação por escalar definida como , forma um espaço vetorial sobre . Para isso, precisamos verificar se todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial são atendidas. Vamos precisar conhecer as axiomas de um espaço vetorial, que são as regras que definem como as operações de adição e multiplicação por escalar devem funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a adição (que aqui é a multiplicação normal) é associativa. Ou seja, para quaisquer (u oplus v) oplus w = (uv)w = u(vw) , deve ser que u oplus (v oplus w) = u(vw) = u(vw) .
Calculando:
e
Como os dois lados são iguais, a adição é associativa.

Passo 3

Agora, vamos ver se existe um elemento neutro para a adição. Isso quer dizer que existe um elemento u oplus e = ue = u tal que para todo , .
No nosso caso:
Para que isso seja verdadeiro, deve ser 1, já que . Como 1 está em (porque ), o elemento neutro existe e é 1.

Passo 4

Vamos checar se para todo u oplus v = uv = 1 existe um inverso aditivo. Ou seja, existe tal que , onde é o elemento neutro (que já vimos que é 1).
Aqui:
Isso implica que . Como , então , e pertence a . Portanto, todo elemento tem inverso aditivo.

Passo 5

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial. Precisamos mostrar que para todo alpha (u oplus v) = alpha u oplus alpha v e para todo alpha (u oplus v) = alpha (uv) = (uv)^alpha = u^alpha v^alpha ,
alpha u oplus alpha v = u^alpha v^alpha
Calculando cada lado:
e
Como os dois lados são iguais, a distributividade está confirmada.

Passo 6

Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Ou seja, para todo (alpha + beta) u = alpha u oplus beta u e (alpha + beta) u = u^alpha + beta = u^alpha u^beta = alpha u oplus beta u ,
Calculando cada lado:
Isso confirma que a propriedade é satisfeita.

Passo 7

Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Precisamos mostrar que para todo alpha (beta u) = (alpha beta) u e alpha (beta u) = alpha (u^beta) = (u^beta)^alpha = u^alpha beta ,
(alpha beta) u = u^alpha beta
Calculando cada lado:
e
Como são iguais, a compatibilidade está confirmada.

Passo 8

Por fim, vamos verificar a preservação do elemento neutro da multiplicação por escalar. Precisamos que 1u = u^1 = u para todo .
Calculando:
Isso confirma que a propriedade é satisfeita.

Resposta

Com todas as propriedades verificadas, concluímos que , com as operações definidas, é realmente um espaço vetorial sobre .

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