Considere a transformação linear
definida por
, onde
.
2
(b) Determine uma base e a dimensão de
.
2
(b) Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear
definida por
, onde
. A pergunta é para determinar uma base e a dimensão da imagem de
. Vamos precisar entender alguns conceitos de transformações lineares, imagem, base e dimensão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o espaço de todas as matrizes 2x2. Uma transformação linear como
pega qualquer matriz
desse espaço e a transforma em outra matriz através da regra dada:
.
Passo 3
Vamos começar representando uma matriz genérica
em
como:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
A imagem de
,
, é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como
para algum
em
. Observando a matriz resultante:
Podemos ver que os elementos
e
são livres, enquanto
e
afetam os elementos superiores. Vamos expressar isso em termos de combinações lineares.
Passo 6
Vamos definir parâmetros para facilitar:
- Deixe
e . - Então,
e podem ser escolhidos livremente, mas afetam os primeiros elementos.
A matriz
fica:
Podemos ver que, para qualquer escolha de
e
, podemos ajustar
e
para obter qualquer valor nos elementos superiores.
Passo 7
Isso significa que a imagem de
consiste em todas as matrizes 2x2 onde os elementos da segunda linha (
e
) podem ser quaisquer valores reais, e os elementos da primeira linha dependem de
e
. Para encontrar uma base, precisamos identificar os vetores (matrizes) que geram essa imagem e que são linearmente independentes.
Passo 8
Vamos expressar
como uma combinação linear:
Os coeficientes
,
,
, e
são livres, então as matrizes
,
,
, e
formam uma base para
.
Passo 9
No entanto, notamos que há dependência entre essas matrizes. Por exemplo,
pode ser obtida a partir de
dividindo por 2. Portanto, podemos simplificar a base removendo matrizes dependentes.
Passo 10
Finalmente, uma base para
é formada pelas matrizes:
E a dimensão de
é o número de vetores na base, que é 3.
Resposta
Uma base para
é formada pelas matrizes
e a dimensão de
é 3.
Exercícios relacionados
Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme
com o vetor
.
Resposta: ou
.
Resposta:
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Seja
a base de
constituída pelos vectores
Qual é o vector de
que nesta base tem componentes
?