Considere a transformação linear T: M(2,2) M(2,2) definida por T(X)=A X+X, onde A=[ll1 & 1 0 & 0].
2
(b) Determine uma base e a dimensão de Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear 1 & 1 0 & 0 definida por , onde . A pergunta é para determinar uma base e a dimensão da imagem de . Vamos precisar entender alguns conceitos de transformações lineares, imagem, base e dimensão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o espaço de todas as matrizes 2x2. Uma transformação linear como pega qualquer matriz desse espaço e a transforma em outra matriz através da regra dada: .

Passo 3

Vamos começar representando uma matriz genérica X = x11 & x12 x21 & x22 em AX = 1 & 1 0 & 0 x11 & x12 x21 & x22 = 1 cdot x11 + 1 cdot x21 & 1 cdot x12 + 1 cdot x22 0 cdot x11 + 0 cdot x21 & 0 cdot x12 + 0 cdot x22 = x11 + x21 & x12 + x22 0 & 0 como:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular T(X) = x11 + x21 & x12 + x22 0 & 0 + x11 & x12 x21 & x22 = (x11 + x21) + x11 & (x12 + x22) + x12 0 + x21 & 0 + x22 = 2x11 + x21 & 2x12 + x22 x21 & x22 :

Passo 5

A imagem de 2x11 + x21 & 2x12 + x22 x21 & x22 , , é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como para algum em . Observando a matriz resultante:
Podemos ver que os elementos e são livres, enquanto e afetam os elementos superiores. Vamos expressar isso em termos de combinações lineares.

Passo 6

Vamos definir parâmetros para facilitar:
  • Deixe 2x11 + a & 2x12 + b a & b e .
  • Então, e podem ser escolhidos livremente, mas afetam os primeiros elementos.
A matriz fica:
Podemos ver que, para qualquer escolha de e , podemos ajustar e para obter qualquer valor nos elementos superiores.

Passo 7

Isso significa que a imagem de consiste em todas as matrizes 2x2 onde os elementos da segunda linha ( e ) podem ser quaisquer valores reais, e os elementos da primeira linha dependem de e . Para encontrar uma base, precisamos identificar os vetores (matrizes) que geram essa imagem e que são linearmente independentes.

Passo 8

Vamos expressar T(X) = x11 2 & 0 0 & 0 + x12 0 & 2 0 & 0 + a 1 & 0 1 & 0 + b 0 & 1 0 & 1 como uma combinação linear:
2 & 0 0 & 0
Os coeficientes 0 & 2 0 & 0 , 1 & 0 1 & 0 , 0 & 1 0 & 1 , e são livres, então as matrizes , , , e formam uma base para .

Passo 9

No entanto, notamos que há dependência entre essas matrizes. Por exemplo, 1 & 0 1 & 0 pode ser obtida a partir de 2 & 0 0 & 0 dividindo por 2. Portanto, podemos simplificar a base removendo matrizes dependentes.

Passo 10

Finalmente, uma base para 2 & 0 0 & 0 , 0 & 2 0 & 0 , 0 & 1 0 & 1 é formada pelas matrizes:
E a dimensão de é o número de vetores na base, que é 3.

Resposta

Uma base para 2 & 0 0 & 0 , 0 & 2 0 & 0 , 0 & 1 0 & 1 é formada pelas matrizes
e a dimensão de é 3.

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