Considere a transformação linear definida por , onde .
2
(b) Determine uma base e a dimensão de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear definida por , onde . A pergunta é para determinar uma base e a dimensão da imagem de . Vamos precisar entender alguns conceitos de transformações lineares, imagem, base e dimensão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o espaço de todas as matrizes 2x2. Uma transformação linear como pega qualquer matriz desse espaço e a transforma em outra matriz através da regra dada: .

Passo 3

Vamos começar representando uma matriz genérica em como:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

A imagem de , , é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como para algum em . Observando a matriz resultante:
Podemos ver que os elementos e são livres, enquanto e afetam os elementos superiores. Vamos expressar isso em termos de combinações lineares.

Passo 6

Vamos definir parâmetros para facilitar:
  • Deixe e .
  • Então, e podem ser escolhidos livremente, mas afetam os primeiros elementos.
A matriz fica:
Podemos ver que, para qualquer escolha de e , podemos ajustar e para obter qualquer valor nos elementos superiores.

Passo 7

Isso significa que a imagem de consiste em todas as matrizes 2x2 onde os elementos da segunda linha ( e ) podem ser quaisquer valores reais, e os elementos da primeira linha dependem de e . Para encontrar uma base, precisamos identificar os vetores (matrizes) que geram essa imagem e que são linearmente independentes.

Passo 8

Vamos expressar como uma combinação linear:
Os coeficientes , , , e são livres, então as matrizes , , , e formam uma base para .

Passo 9

No entanto, notamos que há dependência entre essas matrizes. Por exemplo, pode ser obtida a partir de dividindo por 2. Portanto, podemos simplificar a base removendo matrizes dependentes.

Passo 10

Finalmente, uma base para é formada pelas matrizes:
E a dimensão de é o número de vetores na base, que é 3.

Resposta

Uma base para é formada pelas matrizes
e a dimensão de é 3.

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.
Seja a base de constituída pelos vectores
Qual é o vector de que nesta base tem componentes ?