Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto
é uma base para o espaço
. Para isso, vamos precisar entender sobre bases e combinação linear na matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, uma base de
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Isso significa que precisamos de exatamente três vetores que não sejam combinações lineares uns dos outros para formar uma base.
Passo 3
O conjunto que temos é
, que possui apenas dois vetores. Já que
é um espaço tridimensional, precisamos de três vetores para formar uma base. Com apenas dois vetores, não conseguimos cobrir todo o espaço.
Passo 4
Além disso, podemos verificar se os vetores são linearmente independentes. Para isso, verificamos se existe algum escalar
tal que
. Resolvendo:
Isso nos dá as equações:
As duas primeiras equações sugerem que
, mas a terceira diz que
, o que é uma contradição. Portanto, os vetores não são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente independentes. Mas mesmo assim, faltam mais vetores para formar uma base.
Passo 5
Como o conjunto possui apenas dois vetores e precisamos de três para formar uma base em
, concluímos que esse conjunto não é uma base para
.
Resposta
O conjunto
não é uma base de
porque possui apenas dois vetores, e uma base para
requer três vetores linearmente independentes.