Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^3 :
(1,1,1),(2,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto (1,1,1), (2,2,0) é uma base para o espaço R^3. Para isso, vamos precisar entender sobre bases e combinação linear na matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, uma base de R^3 é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^3. Isso significa que precisamos de exatamente três vetores que não sejam combinações lineares uns dos outros para formar uma base.

Passo 3

O conjunto que temos é (1,1,1), (2,2,0), que possui apenas dois vetores. Já que R^3 é um espaço tridimensional, precisamos de três vetores para formar uma base. Com apenas dois vetores, não conseguimos cobrir todo o espaço.

Passo 4

Além disso, podemos verificar se os vetores são linearmente independentes. Para isso, verificamos se existe algum escalar k tal que (2,2,0) = k(1,1,1). Resolvendo:
(2,2,0) = (k, k, k)
Isso nos dá as equações:
2 = k 2 = k 0 = k
As duas primeiras equações sugerem que k = 2, mas a terceira diz que k = 0, o que é uma contradição. Portanto, os vetores não são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente independentes. Mas mesmo assim, faltam mais vetores para formar uma base.

Passo 5

Como o conjunto possui apenas dois vetores e precisamos de três para formar uma base em R^3, concluímos que esse conjunto não é uma base para R^3.

Resposta

O conjunto (1,1,1), (2,2,0) não é uma base de R^3 porque possui apenas dois vetores, e uma base para R^3 requer três vetores linearmente independentes.

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