Seja B=v1, v2 a base de R^2 constituída pelos vectores
v1=(1,0) e v2=(1,1)
Qual é o vector de R^2 que nesta base tem componentes (2,2) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base B = v1, v2 em R^2, onde v1 = (1, 0) e v2 = (1, 1). A gente precisa encontrar o vetor em R^2 que, nessa base, tem as componentes (2, 2). Basicamente, vamos usar o conceito de coordenadas em uma base para encontrar o vetor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Isso significa que, se temos uma base B = v1, v2, qualquer vetor x pode ser escrito como:
x = a v1 + b v2
onde a e b são as coordenadas de x na base B.

Passo 3

No nosso caso, as coordenadas são (2, 2). Ou seja, a = 2 e b = 2. Então, substituindo na fórmula:
x = 2 v1 + 2 v2

Passo 4

Agora, vamos substituir os vetores da base:
x = 2 cdot (1, 0) + 2 cdot (1, 1)

Passo 5

Fazendo as multiplicações:
2 cdot (1, 0) = (2, 0)
2 cdot (1, 1) = (2, 2)

Passo 6

Agora, somamos os resultados:
(2, 0) + (2, 2) = (2 + 2, 0 + 2) = (4, 2)

Resposta

O vetor de R^2 que, na base B, tem componentes (2, 2) é (4, 2).

Exercícios relacionados

Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^3 :
(1,1,1),(2,2,0).
Considere a transformação linear T: M(2,2) M(2,2) definida por T(X)=A X+X, onde A=[ll1 & 1 0 & 0].
2
(b) Determine uma base e a dimensão de Im(T).
Determinar o valor de a para que seja 45^circ o ângulo entre os vetores u=(2,1) e v=(1, a).
Resposta: a=3 ou a=-13.
Seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3)
Determine:
© Uma base e a dimensão de Im(T).
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