Considere a transformação linear T: M(2,2) M(2,2) definida por T(X)=A X+X, onde A=[ll1 & 1 0 & 0].
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© T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear 1 & 1 0 & 0 definida por , onde . A pergunta é: T é um isomorfismo? Para responder isso, a gente precisa entender o que é um isomorfismo e depois verificar se essa transformação atende aos critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são alcançados por algum elemento do domínio). Se uma transformação é bijetora, ela tem uma inversa e, essencialmente, não “perde” nenhuma informação.

Passo 3

Agora, para saber se é um isomorfismo, vamos verificar se é injetora, porque para espaços vetoriais de dimensão finita iguais, ser injetora já garante que é sobrejetora e, portanto, bijetora.
Para ser injetora, o único vetor que mapeia para o vetor zero deve ser o vetor zero. Ou seja, precisamos ver se implica que .

Passo 4

Vamos resolver a equação T(X) = A X + X = 0 :
(A + I) X = 0
Podemos reescrever isso como:
1 & 1 0 & 0 + 1 & 0 0 & 1 = 2 & 1 0 & 1
onde 2 & 1 0 & 1 X = 0 é a matriz identidade .
Então, temos:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Vamos chamar x11 & x12 x21 & x22 . Multiplicando, temos:
2x11 + x21 & 2x12 + x22 0x11 + 1x21 & 0x12 + 1x22 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá o sistema de equações:
2x11 + x21 = 0 2x12 + x22 = 0 x21 = 0 x22 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. De e .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo na segunda equação: .
Então, a única solução é .

Passo 7

Como a única solução para é , isso significa que é injetora.

Passo 8

Como é injetora e estamos trabalhando com espaços vetoriais de dimensões iguais (ambos são com dimensão 4), então também é sobrejetora. Portanto, é bijetora.

Resposta

Sim, é um isomorfismo porque a única solução para é , tornando injetora e, consequentemente, bijetora.

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