Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por , onde . A pergunta é: T é um isomorfismo? Para responder isso, a gente precisa entender o que é um isomorfismo e depois verificar se essa transformação atende aos critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são alcançados por algum elemento do domínio). Se uma transformação é bijetora, ela tem uma inversa e, essencialmente, não “perde” nenhuma informação.
Passo 3
Agora, para saber se é um isomorfismo, vamos verificar se é injetora, porque para espaços vetoriais de dimensão finita iguais, ser injetora já garante que é sobrejetora e, portanto, bijetora.
Para ser injetora, o único vetor que mapeia para o vetor zero deve ser o vetor zero. Ou seja, precisamos ver se implica que .
Passo 4
Vamos resolver a equação :
Podemos reescrever isso como:
onde é a matriz identidade .
Então, temos:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Vamos chamar . Multiplicando, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
De e .
Substituindo na primeira equação: ⇒ .
Substituindo na segunda equação: ⇒ .
Então, a única solução é .
Passo 7
Como a única solução para é , isso significa que é injetora.
Passo 8
Como é injetora e estamos trabalhando com espaços vetoriais de dimensões iguais (ambos são com dimensão 4), então também é sobrejetora. Portanto, é bijetora.
Resposta
Sim, é um isomorfismo porque a única solução para é , tornando injetora e, consequentemente, bijetora.