Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço.
5 y^2=12 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar os focos, vértices e as diretrizes da parábola dada pela equação . Isso está no conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre parábolas. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar esses elementos essenciais de uma parábola a partir da sua equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da parábola de uma forma mais familiar. A equação geral de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Aqui, y^2 = 125 x é o vértice da parábola e é a distância do vértice até o foco ou até a diretriz.
No nosso caso, a equação é . Vamos reorganizar para colocá-la na forma padrão:
Comparando com a forma geral, vemos que e . Então, o vértice está na origem .

Passo 3

Agora, vamos identificar o valor de 4p = 125 . Da equação reorganizada p = 125 times 4 = 1220 = 35 , temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por 4:
Então, .

Passo 4

Com o valor de (h + p, k) = (0 + 35, 0) = (35, 0) , podemos encontrar o foco da parábola. Como a parábola abre para a direita (porque o coeficiente de é positivo), o foco estará a uma distância à direita do vértice.
Portanto, as coordenadas do foco são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a diretriz. A diretriz é uma reta vertical que está a uma distância x = h - p à esquerda do vértice quando a parábola abre para a direita. A equação da diretriz é dada por:
x = 0 - 35 = -35
Substituindo os valores:
Então, a equação da diretriz é .

Resposta

Para a parábola :
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

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