Seja B=v1, v2, v3 a base de R^3 constituída pelos vectores
v1=(2,0,0), v2=(1,1,0) e v3=(1,1,1)
Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as componentes de um vector (a, b, c) in R^3 nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base B = v1, v2, v3 de R^3 com os vetores v1 = (2,0,0), v2 = (1,1,0) e v3 = (1,1,1). A ideia é usar uma matriz de mudança de base para encontrar as componentes de um vetor qualquer (a, b, c) nessa base. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como montar a matriz que faz essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos expressar o vetor (a, b, c) na base B. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, multiplicada pelo vetor na base B, nos dê o vetor na base padrão.

Passo 3

Vamos montar a matriz cujas colunas são os vetores da base B. Isso porque essa matriz traz a relação entre as duas bases. Assim, nossa matriz P fica:
P = 2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Passo 4

Para achar as componentes do vetor (a, b, c) na base B, precisamos resolver a equação:
P cdot x y z = a b c
Aqui, (x, y, z) serão as componentes do vetor na base B.

Passo 5

Vamos escrever o sistema de equações correspondente:
2x + y + z = a 0x + y + z = b 0x + 0y + z = c
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar x, y e z.

Passo 6

Da terceira equação: z = c.
Substituindo z = c na segunda equação: y + c = b Rightarrow y = b - c.
Agora, substituindo y e z na primeira equação: 2x + (b - c) + c = a Rightarrow 2x + b = a Rightarrow 2x = a - b Rightarrow x = a - b2.

Resposta

As componentes do vetor (a, b, c) na base B são:
( a - b2, b - c, c )

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