Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as componentes de um vector nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base de com os vetores , e . A ideia é usar uma matriz de mudança de base para encontrar as componentes de um vetor qualquer nessa base. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como montar a matriz que faz essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos expressar o vetor na base . Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, multiplicada pelo vetor na base , nos dê o vetor na base padrão.
Passo 3
Vamos montar a matriz cujas colunas são os vetores da base . Isso porque essa matriz traz a relação entre as duas bases. Assim, nossa matriz fica:
Passo 4
Para achar as componentes do vetor (a, b, c) na base B, precisamos resolver a equação:
P cdot x y z = a b c
Aqui, (x, y, z) serão as componentes do vetor na base B.
Passo 5
Vamos escrever o sistema de equações correspondente:
2x + y + z = a 0x + y + z = b 0x + 0y + z = c
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar x, y e z.
Passo 6
Da terceira equação: z = c.
Substituindo z = c na segunda equação: y + c = b Rightarrow y = b - c.
Agora, substituindo y e z na primeira equação: 2x + (b - c) + c = a Rightarrow 2x + b = a Rightarrow 2x = a - b Rightarrow x = a - b2.