Sejam A e B em \mathbb{R}^{3}.
Dado um ponto C, determine:
(a) Com as coordenadas do ponto D tal que A, B e C sejam coplanares.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional, , e , e queremos encontrar as coordenadas de um ponto de forma que esses quatro pontos sejam coplanares. Ou seja, todos eles devem estar no mesmo plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de coplanaridade e como determinar se um conjunto de pontos está no mesmo plano usando vetores e determinantes.

Passo 2

Para verificar se os pontos , , e são coplanares, podemos utilizar vetores que partem de um ponto comum, digamos . Vamos formar os vetores , e . Se o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores for zero, então os pontos são coplanares. Esse volume é calculado pelo determinante formado pelos componentes desses vetores.

Passo 3

Vamos definir as coordenadas dos pontos:
Os vetores são então:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante formado por esses vetores:
xB - xA & yB - yA & zB - zA xC - xA & yC - yA & zC - zA xD - xA & yD - yA & zD - zA = 0
Esse determinante igual a zero garante que os vetores são coplanares, ou seja, os pontos , , e estão no mesmo plano.

Passo 5

Expandindo o determinante, temos:
(xB - xA)[(yC - yA)(zD - zA) - (zC - zA)(yD - yA)] - (yB - yA)[(xC - xA)(zD - zA) - (zC - zA)(xD - xA)] + (zB - zA)[(xC - xA)(yD - yA) - (yC - yA)(xD - xA)] = 0
Essa equação relaciona as coordenadas de com as dos outros pontos.

Passo 6

Para encontrar , precisamos resolver a equação acima para , e . Dependendo das coordenadas conhecidas de , e , podemos isolar uma das variáveis ou expressar em termos das outras coordenadas.

Resposta

As coordenadas do ponto xB - xA & yB - yA & zB - zA xC - xA & yC - yA & zC - zA xD - xA & yD - yA & zD - zA = 0 que torna , , e coplanares devem satisfazer a equação determinantal:
Resolvendo essa equação com as coordenadas específicas de , e , encontramos as coordenadas de .

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