Sejam A e B em \mathbb{R}^{3}.
Dado um ponto C, determine:
(a) Com as coordenadas do ponto D tal que A, B e C sejam coplanares.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional, , e , e queremos encontrar as coordenadas de um ponto de forma que esses quatro pontos sejam coplanares. Ou seja, todos eles devem estar no mesmo plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de coplanaridade e como determinar se um conjunto de pontos está no mesmo plano usando vetores e determinantes.
Passo 2
Para verificar se os pontos , , e são coplanares, podemos utilizar vetores que partem de um ponto comum, digamos . Vamos formar os vetores , e . Se o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores for zero, então os pontos são coplanares. Esse volume é calculado pelo determinante formado pelos componentes desses vetores.
Passo 3
Vamos definir as coordenadas dos pontos:
Os vetores são então:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante formado por esses vetores:
Esse determinante igual a zero garante que os vetores são coplanares, ou seja, os pontos , , e estão no mesmo plano.
Essa equação relaciona as coordenadas de com as dos outros pontos.
Passo 6
Para encontrar , precisamos resolver a equação acima para , e . Dependendo das coordenadas conhecidas de , e , podemos isolar uma das variáveis ou expressar em termos das outras coordenadas.
Resposta
As coordenadas do ponto xB - xA & yB - yA & zB - zA xC - xA & yC - yA & zC - zA xD - xA & yD - yA & zD - zA = 0 que torna , , e coplanares devem satisfazer a equação determinantal:
Resolvendo essa equação com as coordenadas específicas de , e , encontramos as coordenadas de .