Dê um exemplo de uma forma bilinear simétrica e de uma forma bilinear não simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente dar um exemplo de uma forma bilinear simétrica e de uma forma bilinear não simétrica. Vamos precisar entender o que são formas bilineares e a diferença entre simétricas e não simétricas para poder dar os exemplos certinhos.

Passo 2

Primeiro, forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número, e que é linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que se você somar dois vetores ou multiplicar por um número, a forma bilinear reage de maneira previsível. Em termos matemáticos, se b(u + v, w) = b(u, w) + b(v, w) é uma forma bilinear, então:
b(au, v) = a cdot b(u, v)
E o mesmo vale para a segunda variável.

Passo 3

Agora, uma forma bilinear simétrica é aquela que não muda se a gente trocar os dois vetores de lugar. Ou seja, para todos os vetores b(u, v) = b(v, u) e b(u, v) = u1 v1 + u2 v2 :
Exemplo de forma bilinear simétrica:
Vamos considerar no espaço , a forma bilinear definida por:
Aqui, se você trocar e , o resultado continua o mesmo, então é simétrica.

Passo 4

Por outro lado, uma forma bilinear não simétrica é aquela que muda quando a gente troca os vetores de lugar. Ou seja, existe pelo menos um par de vetores b(u, v) neq b(v, u) e b(u, v) = u1 v2 para os quais:
b(v, u) = v1 u2
Exemplo de forma bilinear não simétrica:
Ainda no espaço , vamos definir:
Se você trocar e , temos:
Em geral, não é igual a , então essa forma bilinear não é simétrica.

Resposta

Forma bilinear simétrica:
Forma bilinear não simétrica:

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