Dê um exemplo de uma forma bilinear simétrica e de uma forma bilinear não simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente dar um exemplo de uma forma bilinear simétrica e de uma forma bilinear não simétrica. Vamos precisar entender o que são formas bilineares e a diferença entre simétricas e não simétricas para poder dar os exemplos certinhos.
Passo 2
Primeiro, forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número, e que é linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que se você somar dois vetores ou multiplicar por um número, a forma bilinear reage de maneira previsível. Em termos matemáticos, se
é uma forma bilinear, então:
E o mesmo vale para a segunda variável.
Passo 3
Agora, uma forma bilinear simétrica é aquela que não muda se a gente trocar os dois vetores de lugar. Ou seja, para todos os vetores
e
:
Exemplo de forma bilinear simétrica:
Vamos considerar no espaço
, a forma bilinear definida por:
Aqui, se você trocar
e
, o resultado continua o mesmo, então é simétrica.
Passo 4
Por outro lado, uma forma bilinear não simétrica é aquela que muda quando a gente troca os vetores de lugar. Ou seja, existe pelo menos um par de vetores
e
para os quais:
Exemplo de forma bilinear não simétrica:
Ainda no espaço
, vamos definir:
Se você trocar
e
, temos:
Em geral,
não é igual a
, então essa forma bilinear não é simétrica.
Resposta
Forma bilinear simétrica:
Forma bilinear não simétrica:
Exercícios relacionados
Considere a transformação linear
definida por
, onde
.
2
© T é um isomorfismo? Justifique.
2
© T é um isomorfismo? Justifique.
Seja
a base de
constituída pelos vectores
Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as componentes de um vector
nesta base.
Sejam A e B em \mathbb{R}^{3}.
Dado um ponto C, determine:
(a) Com as coordenadas do ponto D tal que A, B e C sejam coplanares.
Dado um ponto C, determine:
(a) Com as coordenadas do ponto D tal que A, B e C sejam coplanares.
Resolva o PVI de primeira ordem