Considere a transformação linear T: P3(R) P2(R) definida por
T(p(t))=2 p^prime(t)+p(0)(t-1)
Obtenha a expressão de T, supondo que p(t)=a+b t+c t^2+d t^3.

Passo 1

Vamos resolver um problema de transformações lineares em álgebra linear. A questão nos apresenta uma transformação linear que mapeia polinômios de grau até 3 ( ) para polinômios de grau até 2 ( ). Precisamos encontrar a expressão da transformação quando aplicamos a um polinômio geral .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se T(alpha p(t) + beta q(t)) = alpha T(p(t)) + beta T(q(t)) é linear, então para quaisquer polinômios e , e para quaisquer escalares e :

Passo 3

A transformação T(p(t)) = 2 p^prime(t) + p(0)(t - 1) está definida por:
Aqui, representa a derivada de em relação a , e é o valor de quando .

Passo 4

Vamos calcular p^prime(t) = ddt(a + b t + c t^2 + d t^3) = b + 2c t + 3d t^2 para o polinômio geral :

Passo 5

Agora, calculamos p(0) = a + b cdot 0 + c cdot 0^2 + d cdot 0^3 = a , que é o valor de quando :

Passo 6

Substituímos T(p(t)) = 2(b + 2c t + 3d t^2) + a(t - 1) e na expressão da transformação :

Passo 7

Vamos distribuir os termos:
T(p(t)) = 2b + 4c t + 6d t^2 + a t - a

Passo 8

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
T(p(t)) = (2b - a) + (4c + a) t + 6d t^2

Resposta

Portanto, a expressão da transformação T(p(t)) = (2b - a) + (4c + a) t + 6d t^2 aplicada ao polinômio é:

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