Considere a transformação linear
definida por
Obtenha a expressão de
, supondo que
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de transformações lineares em álgebra linear. A questão nos apresenta uma transformação linear
que mapeia polinômios de grau até 3 (
) para polinômios de grau até 2 (
). Precisamos encontrar a expressão da transformação
quando aplicamos a um polinômio geral
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se
é linear, então para quaisquer polinômios
e
, e para quaisquer escalares
e
:
Passo 3
A transformação
está definida por:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, e
é o valor de
quando
.
Passo 4
Vamos calcular
para o polinômio geral
:
Passo 5
Agora, calculamos
, que é o valor de
quando
:
Passo 6
Substituímos
e
na expressão da transformação
:
Passo 7
Vamos distribuir os termos:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, a expressão da transformação
aplicada ao polinômio
é:
Exercícios relacionados
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(l) ;
(l)
Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base
.
(b) Encontre , se
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base
(b) Encontre
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(b)
(b)
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e) ;
(e)