Sejam alpha=u1=(0,1,2), u2=(1,0,1), u3=(0,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1+u2-u3, v2=u1-u2-u3 e v3=u1-u2+u3.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.
(b) Encontre [v]beta, se v=(2,1,-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas bases no espaço tridimensional R^3. A base alpha é formada pelos vetores u1=(0,1,2), u2=(1,0,1) e u3=(0,1,0). A base beta é formada por outros três vetores v1, v2 e v3, que são combinações lineares dos vetores da base alpha. Queremos, na parte (a), encontrar a matriz de mudança de base que vai de alpha para beta. Para isso, vamos precisar entender como os vetores de beta são expressos em termos de alpha e usar isso para construir a matriz de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela nos permite transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos transformar coordenadas da base alpha para a base beta.

Passo 3

Sabemos que cada vetor da base beta pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base alpha. Vamos reescrever essas combinações:
v1 = u1 + u2 - u3
v2 = u1 - u2 - u3
v3 = u1 - u2 + u3

Passo 4

Para construir a matriz de mudança de base, vamos organizar os coeficientes dessas combinações em colunas. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes que multiplicam os vetores da base alpha para formar um vetor da base beta.

Passo 5

Vamos identificar os coeficientes para cada vetor vi:
  • Para v1: os coeficientes são 1 para u1, 1 para u2 e -1 para u3.
  • Para v2: os coeficientes são 1 para u1, -1 para u2 e -1 para u3.
  • Para v3: os coeficientes são 1 para u1, -1 para u2 e 1 para u3.

Passo 6

Agora, organizamos esses coeficientes em uma matriz onde cada coluna corresponde a um vetor da base beta:
Malpha to beta = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1

Passo 7

Essa é a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta. Ela nos permite converter as coordenadas de qualquer vetor expresso na base alpha para suas coordenadas na base beta.

Resposta

A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é:
Malpha to beta = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1

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