Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas bases no espaço tridimensional . A base é formada pelos vetores , e . A base é formada por outros três vetores , e , que são combinações lineares dos vetores da base . Queremos, na parte (a), encontrar a matriz de mudança de base que vai de para . Para isso, vamos precisar entender como os vetores de são expressos em termos de e usar isso para construir a matriz de mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela nos permite transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos transformar coordenadas da base para a base .
Passo 3
Sabemos que cada vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Vamos reescrever essas combinações:
Passo 4
Para construir a matriz de mudança de base, vamos organizar os coeficientes dessas combinações em colunas. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes que multiplicam os vetores da base para formar um vetor da base .
Passo 5
Vamos identificar os coeficientes para cada vetor :
Para : os coeficientes são para , para e para .
Para : os coeficientes são para , para e para .
Para : os coeficientes são para , para e para .
Passo 6
Agora, organizamos esses coeficientes em uma matriz onde cada coluna corresponde a um vetor da base :
Passo 7
Essa é a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta. Ela nos permite converter as coordenadas de qualquer vetor expresso na base alpha para suas coordenadas na base beta.
Resposta
A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é: