Considere a transformação linear T(x, y, z)= (2 x+y-z, 2 x-3 y+2 z, 3 x-3 y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b23 vale:
(A) 6
(B) 7
© 8
(D) 9
(E) 10
(F) 11
(G) 12
(H) 13
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a entrada da matriz inversa da transformação linear . Estamos trabalhando com transformações lineares e matrizes inversas. Para resolver isso, precisaremos construir a matriz que representa , calcular seu determinante, encontrar a matriz adjunta e finalmente a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz T(x, y, z) = (2x + y - z, 2x - 3y + 2z, 3x - 3y + 2z) que representa a transformação linear A = 2 & 1 & -1 2 & -3 & 2 3 & -3 & 2 . A transformação é dada por:
Portanto, a matriz é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) , que é essencial para encontrar a inversa. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = 2((-3)(2) - (2)(-3)) - 1((2)(2) - (2)(3)) + (-1)((2)(-3) - (-3)(3))
Para a matriz det(A) = 2(-6 + 6) - 1(4 - 6) + (-1)(-6 + 9) = 2(0) - 1(-2) + (-1)(3) = 0 + 2 - 3 = -1 :
Calculando cada parte:
Então, .

Passo 4

Com o determinante calculado, vamos encontrar a matriz adjunta de Cofator11 = det-3 & 2 -3 & 2 = (-3)(2) - (2)(-3) = -6 + 6 = 0 . Para isso, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de Cofator12 = -det2 & 2 3 & 2 = -(2 cdot 2 - 2 cdot 3) = -(4 - 6) = 2 .
Os cofatores são calculados removendo a linha e a coluna de cada elemento e calculando o determinante da submatriz resultante, multiplicado por Cofator13 = det2 & -3 3 & -3 = 2 cdot (-3) - (-3) cdot 3 = -6 + 9 = 3 , onde Cofator21 = -det1 & -1 -3 & 2 = - (1 cdot 2 - (-1) cdot (-3)) = - (2 - 3) = 1 e Cofator22 = det2 & -1 3 & 2 = 2 cdot 2 - (-1) cdot 3 = 4 + 3 = 7 são a posição do elemento.
Calculando os cofatores:
Cofator23 = -det2 & 1 3 & -3 = - (2 cdot (-3) - 1 cdot 3) = - (-6 - 3) = 9
Cofator31 = det1 & -1 -3 & 2 = 1 cdot 2 - (-1) cdot (-3) = 2 - 3 = -1
Cofator32 = -det2 & -1 2 & 2 = - (2 cdot 2 - (-1) cdot 2) = - (4 + 2) = -6
Cofator33 = det2 & 1 2 & -3 = 2 cdot (-3) - 1 cdot 2 = -6 - 2 = -8
Cof(A) = 0 & 2 & 3 1 & 7 & 9 -1 & -6 & -8
Adj(A) = 0 & 1 & -1 2 & 7 & -6 3 & 9 & -8
Assim, a matriz de cofatores é:
A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 5

Finalmente, a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-1 cdot 0 & 1 & -1 2 & 7 & -6 3 & 9 & -8 = 0 & -1 & 1 -2 & -7 & 6 -3 & -9 & 8 é dada por:

[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot Adj(A) = \frac{1}{-1} \cdot
b23 = 6


]
Agora, observando a entrada , que está na segunda linha e terceira coluna da matriz inversa:

Resposta

A entrada vale 6.
Alternativa (A)

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