Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a entrada da matriz inversa da transformação linear . Estamos trabalhando com transformações lineares e matrizes inversas. Para resolver isso, precisaremos construir a matriz que representa , calcular seu determinante, encontrar a matriz adjunta e finalmente a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que representa a transformação linear . A transformação é dada por:
Portanto, a matriz é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante da matriz , que é essencial para encontrar a inversa. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Para a matriz :
Calculando cada parte:
Então, .
Passo 4
Com o determinante calculado, vamos encontrar a matriz adjunta de . Para isso, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de .
Os cofatores são calculados removendo a linha e a coluna de cada elemento e calculando o determinante da submatriz resultante, multiplicado por , onde e são a posição do elemento.
Calculando os cofatores:
Assim, a matriz de cofatores é:
A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores: