Suponha A3 times 3 tal que
A[r-3 -3 6]=[r6 0 15], A[r-3 -1 8]=[r6 2 13] e A[r-2 -4 2]=[r4 -2 12].
Assinale a afirmação verdadeira:
(A) Pode-se afirmar que A x=b tem solução única para qualquer b.
(B) Não existe matriz A que satisfaça às condições do enunciado.
© Não se pode afirmar se A x=b tem solução para qualquer b.
(D) Pode-se afirmar que A x=b não tem solução para certos valores do vetor b e que quando existe solução el a não é única.
(E) Pode-se afirmar que A x=b tem solução para qualquer b, mas não se pode garantir unicidade.
(F) Pode-se afirmar que A x=b não tem solução para certos valores do vetor b, mas quando existe solução ela é única.
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho que, quando multiplicada por certos vetores, resulta em outros vetores específicos. O conteúdo aqui é de álgebra linear, mais precisamente sobre sistemas de equações lineares e propriedades das matrizes, como invertibilidade e soluções únicas. Para resolver, vamos precisar entender como uma matriz age sobre vetores e o que significa ter uma solução única para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que tem uma solução única para qualquer vetor . Isso acontece se e somente se a matriz for invertível, ou seja, se sua determinante não for zero. Uma matriz invertível garante que para cada , existe exatamente um vetor que satisfaz a equação.

Passo 3

Agora, vamos analisar as transformações dadas:
A -3 -3 6 = 6 0 15 , A -3 -1 8 = 6 2 13 , A -2 -4 2 = 4 -2 12
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se eles não forem, isso significa que a matriz não é invertível, e portanto, não terá solução única para todo .

Passo 4

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz cujas colunas são os vetores do lado direito das equações e verificar o determinante:
Matriz A = 6 & 6 & 4 0 & 2 & -2 15 & 13 & 12
Calculando o determinante dessa matriz:
det(A) = 6(2 cdot 12 - (-2) cdot 13) - 6(0 cdot 12 - (-2) cdot 15) + 4(0 cdot 13 - 2 cdot 15)
det(A) = 6(24 + 26) - 6(0 + 30) + 4(0 - 30)
det(A) = 6(50) - 6(30) + 4(-30)
det(A) = 300 - 180 - 120 = 0
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível.

Passo 5

Como não é invertível, não podemos garantir que tenha uma solução única para qualquer . Na verdade, para certos vetores , a equação pode não ter solução, ou pode ter infinitas solu��ões. Porém, se houver uma solução, ela não será única devido à dependência linear das colunas de .

Resposta

(D) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução ela não é única.

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