Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho que, quando multiplicada por certos vetores, resulta em outros vetores específicos. O conteúdo aqui é de álgebra linear, mais precisamente sobre sistemas de equações lineares e propriedades das matrizes, como invertibilidade e soluções únicas. Para resolver, vamos precisar entender como uma matriz age sobre vetores e o que significa ter uma solução única para .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que tem uma solução única para qualquer vetor . Isso acontece se e somente se a matriz for invertível, ou seja, se sua determinante não for zero. Uma matriz invertível garante que para cada , existe exatamente um vetor que satisfaz a equação.
Passo 3
Agora, vamos analisar as transformações dadas:
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se eles não forem, isso significa que a matriz não é invertível, e portanto, não terá solução única para todo .
Passo 4
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz cujas colunas são os vetores do lado direito das equações e verificar o determinante:
Calculando o determinante dessa matriz:
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível.
Passo 5
Como não é invertível, não podemos garantir que tenha uma solução única para qualquer . Na verdade, para certos vetores , a equação pode não ter solução, ou pode ter infinitas solu��ões. Porém, se houver uma solução, ela não será única devido à dependência linear das colunas de .
Resposta
(D) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução ela não é única.