Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(0,3,-2), e tem direção do vetor v=2 i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre equações de retas no espaço. Para resolver, vamos precisar saber como usar o ponto conhecido e o vetor diretor para montar essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as equações simétricas de uma reta. Elas são uma forma de descrever uma reta usando as coordenadas dos pontos por onde ela passa e os componentes do vetor diretor. A forma geral das equações simétricas é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Aqui, é o ponto pelo qual a reta passa, e é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Ponto , então , , .
  • Vetor diretor , o que significa que , , .

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula das equações simétricas:
x - 02 = y - 30 = z + 20
Ficou assim:
x2 = y - 30 = z + 20

Passo 5

Aqui temos um pequeno problema. Dividir por zero não é permitido na matemática, então as frações e não são válidas. Isso acontece porque o vetor diretor tem componentes zero nas direções e , indicando que a reta é paralela ao eixo e não se move nas direções e .

Passo 6

Então, como representamos isso? Basicamente, a reta só varia na direção x = 2t y = 3 z = -2 . As coordenadas e permanecem constantes. Então, podemos escrever as equações das retas paramétricas:
Onde é o parâmetro.

Passo 7

Entretanto, como o exercício pede especificamente as equações simétricas, e elas não são aplicáveis quando os componentes do vetor diretor são zero (pois isso leva a divisão por zero), podemos concluir que nesse caso específico, as equações simétricas tradicionais não são adequadas para representar a reta.

Resposta

As equações simétricas da reta não podem ser expressas na forma tradicional devido ao vetor diretor ter componentes zero nas direções x = 2t y = 3 z = -2 e . Portanto, utiliza-se as equações paramétricas:

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