Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto , e tem direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre equações de retas no espaço. Para resolver, vamos precisar saber como usar o ponto conhecido e o vetor diretor para montar essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as equações simétricas de uma reta. Elas são uma forma de descrever uma reta usando as coordenadas dos pontos por onde ela passa e os componentes do vetor diretor. A forma geral das equações simétricas é:
Aqui, é o ponto pelo qual a reta passa, e é o vetor diretor da reta.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
Ponto , então , , .
Vetor diretor , o que significa que , , .
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula das equações simétricas:
Ficou assim:
Passo 5
Aqui temos um pequeno problema. Dividir por zero não é permitido na matemática, então as frações e não são válidas. Isso acontece porque o vetor diretor tem componentes zero nas direções e , indicando que a reta é paralela ao eixo e não se move nas direções e .
Passo 6
Então, como representamos isso? Basicamente, a reta só varia na direção . As coordenadas e permanecem constantes. Então, podemos escrever as equações das retas paramétricas:
Onde é o parâmetro.
Passo 7
Entretanto, como o exercício pede especificamente as equações simétricas, e elas não são aplicáveis quando os componentes do vetor diretor são zero (pois isso leva a divisão por zero), podemos concluir que nesse caso específico, as equações simétricas tradicionais não são adequadas para representar a reta.
Resposta
As equações simétricas da reta não podem ser expressas na forma tradicional devido ao vetor diretor ter componentes zero nas direções x = 2t y = 3 z = -2 e . Portanto, utiliza-se as equações paramétricas: