Verificar se
é soma direta dos subespaços
e
, sendo:
b)
e
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a soma dos subespaços
e
é uma soma direta. Aqui estamos trabalhando com subespaços vetoriais no espaço
. A gente vai precisar entender o que significa soma direta e como analisar a interseção desses subespaços para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma soma direta. A soma
é chamada de soma direta se a única coisa que
e
têm em comum é o vetor zero. Em outras palavras,
. Se existir algum vetor não nulo que esteja em ambos os subespaços, então a soma não é direta.
Passo 3
Vamos identificar os subespaços dados:
-
Isso significa que em
, o primeiro e o terceiro componentes dos vetores são iguais. Podemos escrever qualquer vetor de como , onde e são números reais. -
Aqui, a soma dos componentes dos vetores em
é zero. Podemos isolar uma das variáveis, por exemplo, . Então, qualquer vetor de pode ser escrito como .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção
. Um vetor pertence a
se ele satisfaz as condições de ambos os subespaços:
-
(da definição de ) -
(da definição de )
Como
, podemos substituir na segunda equação:
Passo 5
Portanto, os vetores na interseção
são da forma
, onde
é um número real. Isso significa que a interseção não é apenas o vetor zero, mas um conjunto infinito de vetores na forma
.
Passo 6
Como existe uma infinidade de vetores (exceto o zero) que pertencem tanto a
quanto a
, concluímos que
. Ou seja, a interseção dos subespaços
e
contém mais vetores além do vetor zero.
Resposta
Não,
não é uma soma direta dos subespaços
e
, pois a interseção
contém vetores diferentes de zero.