Verificar se é soma direta dos subespaços e , sendo:
b) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a soma dos subespaços e é uma soma direta. Aqui estamos trabalhando com subespaços vetoriais no espaço . A gente vai precisar entender o que significa soma direta e como analisar a interseção desses subespaços para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma soma direta. A soma é chamada de soma direta se a única coisa que e têm em comum é o vetor zero. Em outras palavras, . Se existir algum vetor não nulo que esteja em ambos os subespaços, então a soma não é direta.
Passo 3
Vamos identificar os subespaços dados:
Isso significa que em , o primeiro e o terceiro componentes dos vetores são iguais. Podemos escrever qualquer vetor de como , onde e são números reais.
Aqui, a soma dos componentes dos vetores em é zero. Podemos isolar uma das variáveis, por exemplo, . Então, qualquer vetor de pode ser escrito como .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção. Um vetor pertence a se ele satisfaz as condições de ambos os subespaços:
(da definição de )
(da definição de )
Como , podemos substituir na segunda equação:
Passo 5
Portanto, os vetores na interseção são da forma , onde é um número real. Isso significa que a interseção não é apenas o vetor zero, mas um conjunto infinito de vetores na forma .
Passo 6
Como existe uma infinidade de vetores (exceto o zero) que pertencem tanto a quanto a , concluímos que . Ou seja, a interseção dos subespaços e contém mais vetores além do vetor zero.
Resposta
Não, não é uma soma direta dos subespaços e , pois a interseção contém vetores diferentes de zero.