Verificar se é soma direta dos subespaços e , sendo:
b) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a soma dos subespaços e é uma soma direta. Aqui estamos trabalhando com subespaços vetoriais no espaço . A gente vai precisar entender o que significa soma direta e como analisar a interseção desses subespaços para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma soma direta. A soma é chamada de soma direta se a única coisa que e têm em comum é o vetor zero. Em outras palavras, . Se existir algum vetor não nulo que esteja em ambos os subespaços, então a soma não é direta.

Passo 3

Vamos identificar os subespaços dados:
  • Isso significa que em , o primeiro e o terceiro componentes dos vetores são iguais. Podemos escrever qualquer vetor de como , onde e são números reais.
  • Aqui, a soma dos componentes dos vetores em é zero. Podemos isolar uma das variáveis, por exemplo, . Então, qualquer vetor de pode ser escrito como .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção . Um vetor pertence a se ele satisfaz as condições de ambos os subespaços:
  1. (da definição de )
  2. (da definição de )
Como , podemos substituir na segunda equação:


Passo 5

Portanto, os vetores na interseção são da forma , onde é um número real. Isso significa que a interseção não é apenas o vetor zero, mas um conjunto infinito de vetores na forma .

Passo 6

Como existe uma infinidade de vetores (exceto o zero) que pertencem tanto a quanto a , concluímos que . Ou seja, a interseção dos subespaços e contém mais vetores além do vetor zero.

Resposta

Não, não é uma soma direta dos subespaços e , pois a interseção contém vetores diferentes de zero.

Exercícios relacionados

Sejam e . Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores .
Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial a seguir.
f) e .
Seja uma base de e uma matriz tal que
Se , então:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Considere a transformação linear .
Determine B a matriz que representa a INVERSA de . A entrada vale:
(A) 6
(B) 7
© 8
(D) 9
(E) 10
(F) 11
(G) 12
(H) 13
(I) Não sei