Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é: temos uma base beta = v1, v2, v3 no espaço R^3 e uma matriz A que transforma esses vetores de uma maneira específica. Queremos descobrir qual das alternativas dadas relaciona corretamente a matriz A com a matriz M = [v1 v2 v3]. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como representar isso com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação nos diz sobre a matriz A:
A v1 = 3 v1,
A v2 = v1 - 3 v3,
A v3 = v1 - 2 v3
Isso significa que, quando a matriz A age sobre cada vetor da base beta, ela os transforma de acordo com essas equações.
Passo 3
Agora, para encontrar a representação matricial de A na base beta, vamos montar a matriz [A]beta, que tem como colunas as coordenadas de A vi em relação à base beta.
Vamos analisar cada transformação:
Para A v1 = 3 v1: Isso significa que a primeira coluna de [A]beta será (3, 0, 0)^T, já que só v1 é afetado.
Para A v2 = v1 - 3 v3: Aqui, a segunda coluna será (1, 0, -3)^T, pois há uma contribuição de v1 e de -3 v3.
Para A v3 = v1 - 2 v3: A terceira coluna será (1, 0, -2)^T.
Então, a matriz [A]beta fica:
[A]beta = 3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2
Passo 4
Agora, sabemos que M é a matriz cujas colunas são os vetores da base:
M = [v1 v2 v3]
A relação entre A e [A]beta é dada por:
A M = M [A]beta
Substituindo [A]beta, temos:
A M = M 3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2
Passo 5
Agora, vamos verificar qual das alternativas corresponde a essa igualdade que encontramos.