Seja beta=v1, v2, v3 uma base de R^3 e A uma matriz 3 times 3 tal que
A v1=3 v1, A v2=v1-3 v3 e A v3=v1-2 v3
Se M=[v1 v2 v3], então:
(A) M A=[rrr3 & 1 & 1 0 & -3 & -2 0 & 0 & 0] M
(B) M A=[rrr3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2] M
© A M=M[rrr3 & 1 & 1 0 & -3 & -2 0 & 0 & 0]
(D) M A=[rrr3 & 0 & 0 1 & 0 & -3 1 & 0 & -2] M
(E) A M=M[rrr3 & -3 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1]
(F) M A=[rrr3 & -3 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1] M
(G) A M=M[rrr3 & 0 & 0 1 & 0 & -3 1 & 0 & -2]
(H) A M=M[rrr3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é: temos uma base beta = v1, v2, v3 no espaço R^3 e uma matriz A que transforma esses vetores de uma maneira específica. Queremos descobrir qual das alternativas dadas relaciona corretamente a matriz A com a matriz M = [v1 v2 v3]. Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como representar isso com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação nos diz sobre a matriz A:
A v1 = 3 v1,
A v2 = v1 - 3 v3,
A v3 = v1 - 2 v3
Isso significa que, quando a matriz A age sobre cada vetor da base beta, ela os transforma de acordo com essas equações.

Passo 3

Agora, para encontrar a representação matricial de A na base beta, vamos montar a matriz [A]beta, que tem como colunas as coordenadas de A vi em relação à base beta.
Vamos analisar cada transformação:
  1. Para A v1 = 3 v1: Isso significa que a primeira coluna de [A]beta será (3, 0, 0)^T, já que só v1 é afetado.
  2. Para A v2 = v1 - 3 v3: Aqui, a segunda coluna será (1, 0, -3)^T, pois há uma contribuição de v1 e de -3 v3.
  3. Para A v3 = v1 - 2 v3: A terceira coluna será (1, 0, -2)^T.
Então, a matriz [A]beta fica:
[A]beta = 3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2

Passo 4

Agora, sabemos que M é a matriz cujas colunas são os vetores da base:
M = [v1 v2 v3]
A relação entre A e [A]beta é dada por:
A M = M [A]beta
Substituindo [A]beta, temos:
A M = M 3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2

Passo 5

Agora, vamos verificar qual das alternativas corresponde a essa igualdade que encontramos.
Comparando com as opções:
  • A opção (H) é exatamente:
A M = M 3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2
Isso confirma que a alternativa correta é a (H).

Resposta

(H) A M=M[rrr3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -2]

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