Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é: temos uma base no espaço e uma matriz que transforma esses vetores de uma maneira específica. Queremos descobrir qual das alternativas dadas relaciona corretamente a matriz com a matriz . Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como representar isso com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação nos diz sobre a matriz :
Isso significa que, quando a matriz age sobre cada vetor da base , ela os transforma de acordo com essas equações.
Passo 3
Agora, para encontrar a representação matricial de na base , vamos montar a matriz , que tem como colunas as coordenadas de em relação à base .
Vamos analisar cada transformação:
Para : Isso significa que a primeira coluna de será , já que só é afetado.
Para : Aqui, a segunda coluna será , pois há uma contribuição de e de .
Para : A terceira coluna será .
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, sabemos que é a matriz cujas colunas são os vetores da base:
A relação entre e é dada por:
Substituindo , temos:
Passo 5
Agora, vamos verificar qual das alternativas corresponde a essa igualdade que encontramos.