Considere a transformação linear T: P2[t](R) R^4 definido por
T(a t^2+b t+c)=(2 a+c, a-b+c, a+b, 3 a+b+c)
(i) Determine uma base para N u c(T) e sua dimensão.
(ii) Determine uma base para Im(T) e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente vai trabalhar com duas partes: encontrar uma base para o Núcleo de (ou ) e sua dimensão, e depois achar uma base para a Imagem de (ou ) também com sua dimensão. Para isso, precisamos entender os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação linear, além de saber resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de T(a t^2 + b t + c) = (2a + c, a - b + c, a + b, 3a + b + c) = (0, 0, 0, 0) . O Núcleo, , é o conjunto de todos os polinômios em que são mapeados para o vetor zero em pela transformação . Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:

Passo 3

Agora, vamos montar um sistema de equações para resolver:
2a + c = 0 a - b + c = 0 a + b = 0 3a + b + c = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Começamos pela terceira equação:
a + b = 0 Rightarrow b = -a
Agora, substituímos 2a + c = 0 a - (-a) + c = 0 Rightarrow 2a + c = 0 3a + (-a) + c = 0 Rightarrow 2a + c = 0 nas demais equações:
Então, todas as equações se reduzem a .

Passo 5

Da equação c = -2a , temos:
b = -a e c = -2a
Agora, temos:
a t^2 - a t - 2a = a(t^2 - t - 2)
Então, qualquer polinômio no núcleo de pode ser escrito como:
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos de .

Passo 6

Portanto, o Núcleo de t^2 - t - 2 é gerado pelo polinômio . Isso significa que uma base para é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que aqui é 1.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a Imagem de , . A Imagem é o conjunto de todos os vetores em para todos os polinômios em . Ou seja, precisamos identificar quais vetores em podem ser obtidos através de .

Passo 8

Podemos pensar na transformação T(a t^2 + b t + c) = a(2, 1, 1, 3) + b(0, -1, 1, 1) + c(1, 1, 0, 1) como uma combinação linear dos coeficientes v1 = (2, 1, 1, 3), v2 = (0, -1, 1, 1), v3 = (1, 1, 0, 1) :
Assim, a imagem de é o espaço gerado pelos vetores:

Passo 9

Para determinar uma base para v3 = 12v1 - 12v2 , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Observemos que pode ser escrito como uma combinação linear de e :
Isso mostra que não adiciona nova dimensão ao espaço gerado por e .

Passo 10

Portanto, os vetores , (2, 1, 1, 3), (0, -1, 1, 1) , e são suficientes para gerar a Imagem de e são linearmente independentes. Assim, uma base para é:
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que aqui é 2.

Resposta

(i) Uma base para é e sua dimensão é 1.
(ii) Uma base para é e sua dimensão é 2.

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