Seja e seja R=[ccccc1 & 2 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0]. Você pode assumir que R é a forma escalonada reduzida por linhas de A. Usando esse fato, responda às seguintes perguntas:
Encontre a base do espaço nulo de A.
Passo 1
Beleza, vamos olhar o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e sua forma escalonada reduzida por linhas . A matéria aqui é Espaço Nulo de uma matriz, que é basicamente o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo . O que precisamos fazer é encontrar uma base para esse espaço nulo, ou seja, encontrar vetores que geram todas as soluções possíveis desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a matriz R = 1 & 2 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 , que é a forma escalonada reduzida por linhas de x1 + 2x2 + 5x4 = 0 x3 - x4 = 0 x5 = 0 :
Podemos traduzir isso para um sistema de equações:
Aqui, e não têm pivôs, então elas serão nossas variáveis livres.
Passo 3
Vamos expressar as variáveis dependentes ( x1 = -2x2 - 5x4 x3 = x4 x5 = 0 ) em termos das variáveis livres ( x = x1 x2 x3 x4 x5 = -2x2 - 5x4 x2 x4 x4 0 ). Das equações acima:
Agora, podemos escrever o vetor solução em termos das variáveis livres:
Passo 4
Para facilitar, vamos fatorar as variáveis livres:
x = x2 -2 1 0 0 0 + x4 -5 0 1 1 0
Isso mostra que todas as soluções são combinações lineares dos vetores:
-2 1 0 0 0 e -5 0 1 1 0
Passo 5
Esses vetores formam uma base para o espaço nulo de , já que são linearmente independentes e geram todas as soluções possíveis do sistema.
Resposta
A base do espaço nulo de -2 1 0 0 0 e -5 0 1 1 0 é formada pelos vetores