Considere a transformação linear T: M(2,2) M(2,2), definido por:
T([ll a & b c & d ])=[cc 2 a+b & 2 b 2 c & 3 d ]
Considerando a base canônica de M(2,2), determine a matriz da transformação T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear T( a & b c & d ) = 2a + b & 2b 2c & 3d que atua no espaço das matrizes , ou seja, . A transformação é definida por:
Vamos precisar usar a base canônica de , que consiste nas matrizes básicas onde cada uma tem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0. Assim, para encontrar a matriz de , vamos aplicar a cada uma dessas matrizes básicas e organizar os resultados em colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base canônica de E1 = 1 & 0 0 & 0 , E2 = 0 & 1 0 & 0 , E3 = 0 & 0 1 & 0 , E4 = 0 & 0 0 & 1 . As quatro matrizes básicas são:
Essas matrizes formam a base canônica, e vamos aplicá-las uma a uma na transformação .

Passo 3

Vamos aplicar T(E1) = T( 1 & 0 0 & 0 ) = 2(1) + 0 & 2(0) 2(0) & 3(0) = 2 & 0 0 & 0 a :

Passo 4

Agora, vamos aplicar T(E2) = T( 0 & 1 0 & 0 ) = 2(0) + 1 & 2(1) 2(0) & 3(0) = 1 & 2 0 & 0 a :

Passo 5

Em seguida, aplicamos T(E3) = T( 0 & 0 1 & 0 ) = 2(0) + 0 & 2(0) 2(1) & 3(0) = 0 & 0 2 & 0 a :

Passo 6

Por fim, aplicamos T(E4) = T( 0 & 0 0 & 1 ) = 2(0) + 0 & 2(0) 2(0) & 3(1) = 0 & 0 0 & 3 a :

Passo 7

Agora que temos [T] = 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 , , e , vamos organizar esses resultados em colunas para formar a matriz da transformação . Cada coluna da matriz de corresponde às coordenadas de na base canônica.
Organizando os elementos:

Resposta

A matriz da transformação [T] = 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 na base canônica de é:

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