Considere a transformação linear , definido por:
Considerando a base canônica de , determine a matriz da transformação T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear que atua no espaço das matrizes , ou seja, . A transformação é definida por:
Vamos precisar usar a base canônica de , que consiste nas matrizes básicas onde cada uma tem um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0. Assim, para encontrar a matriz de , vamos aplicar a cada uma dessas matrizes básicas e organizar os resultados em colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base canônica de . As quatro matrizes básicas são:
Essas matrizes formam a base canônica, e vamos aplicá-las uma a uma na transformação .

Passo 3

Vamos aplicar a :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a :

Passo 5

Em seguida, aplicamos a :

Passo 6

Por fim, aplicamos a :

Passo 7

Agora que temos , , e , vamos organizar esses resultados em colunas para formar a matriz da transformação . Cada coluna da matriz de corresponde às coordenadas de na base canônica.
Organizando os elementos:

Resposta

A matriz da transformação na base canônica de é:

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Prove que e não são aneis isomorfos.
Verifique se , dada por , é um isomorfismo de aneis.
Seja V o espaço vetorial de matrizes , com base:
Se é dada por ,
Se e . Ache e, se for possível, , tal que
Determine uma transformação linear que satisfaça simultaneamente as seguintes consições:
  • O elemento
  • O elemento
  • O elemento
    Dica: Lembre que se você souber como a transformação funciona na base, você descobre como ela funciona no espaço todo.