Se é dada por ,
Se e . Ache S e, se for possível, (a, b), tal que
S(a, b)=[ll 1 & 0 0 & 1 ]
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial 1 & 0 0 & 1 composto por matrizes com uma base específica . Além disso, temos duas transformações lineares: que vai de para e que faz o caminho inverso, de para . A matriz associada a na base é fornecida. Nosso objetivo é encontrar a transformação e, se possível, encontrar um par tal que seja a matriz identidade . Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares se relacionam com suas matrizes nas bases dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz . Essa matriz representa a transformação escrita nas bases de e de . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base de pela transformação , expressa na base .
Passo 3
Vamos denotar [S]beta^alpha = 2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1 como a base padrão de S(e1) = 2b1 + b2 - b3 + 0b4 , onde S(e2) = 1b1 - b2 + 0b3 + b4 e . A matriz dada é:
Agora que temos S(a, b) = a S(e1) + b S(e2) = a 2 & 1 -1 & 0 + b 1 & -1 0 & 1 e S(a, b) = 2a + b & a - b -a & b , podemos expressar a transformação para qualquer vetor em usando a linearidade:
Fazendo a soma das matrizes:
Passo 6
Agora, queremos encontrar 1 & 0 0 & 1 tal que 2a + b = 1 (1) seja a matriz identidade a - b = 0 (2) . Então, igualamos as entradas:
-a = 0 (3)
b = 1 (4)
0 - b = 0 Rightarrow b = 0
A partir da equação (3), temos . Substituindo na equação (2):
Mas da equação (4), . Isso é uma contradição ( não pode ser ao mesmo tempo 0 e 1).
Resposta
Não existe um par 1 & 0 0 & 1 tal que seja a matriz identidade .