Seja V o espaço vetorial de matrizes , com base:
Se é dada por ,
Se e . Ache e, se for possível, , tal que

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial composto por matrizes com uma base específica . Além disso, temos duas transformações lineares: que vai de para e que faz o caminho inverso, de para . A matriz associada a na base é fornecida. Nosso objetivo é encontrar a transformação e, se possível, encontrar um par tal que seja a matriz identidade . Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares se relacionam com suas matrizes nas bases dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz . Essa matriz representa a transformação escrita nas bases de e de . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base de pela transformação , expressa na base .

Passo 3

Vamos denotar como a base padrão de , onde e . A matriz dada é:
Isso significa que:
onde são os vetores da base .

Passo 4

Vamos escrever a base explicitamente:
Agora, substituindo na expressão de e :

Passo 5

Agora que temos e , podemos expressar a transformação para qualquer vetor em usando a linearidade:
Fazendo a soma das matrizes:

Passo 6

Agora, queremos encontrar tal que seja a matriz identidade . Então, igualamos as entradas:
A partir da equação (3), temos . Substituindo na equação (2):
Mas da equação (4), . Isso é uma contradição ( não pode ser ao mesmo tempo 0 e 1).

Resposta

Não existe um par tal que seja a matriz identidade .

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear , definido por:
Considerando a base canônica de , determine a matriz da transformação T.
Prove que e não são aneis isomorfos.
Determine uma transformação linear que satisfaça simultaneamente as seguintes consições:
  • O elemento
  • O elemento
  • O elemento
    Dica: Lembre que se você souber como a transformação funciona na base, você descobre como ela funciona no espaço todo.
Seja V o espaço vetorial de matrizes , com base:
Se é dada por ,
Ache , onde é a base canônica do .