Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 times 2, com base:
beta=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
Se T: V R^2 é dada por T([lla & b c & d])=(a+d, b+c),
Se S: R^2 V e [S]beta^alpha=[cc2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1]. Ache S e, se for possível, (a, b), tal que
S(a, b)=[ll 1 & 0 0 & 1 ]

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial 1 & 0 0 & 1 composto por matrizes com uma base específica . Além disso, temos duas transformações lineares: que vai de para e que faz o caminho inverso, de para . A matriz associada a na base é fornecida. Nosso objetivo é encontrar a transformação e, se possível, encontrar um par tal que seja a matriz identidade . Para resolver isso, vamos precisar entender como as transformações lineares se relacionam com suas matrizes nas bases dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz . Essa matriz representa a transformação escrita nas bases de e de . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base de pela transformação , expressa na base .

Passo 3

Vamos denotar [S]beta^alpha = 2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1 como a base padrão de S(e1) = 2b1 + b2 - b3 + 0b4 , onde S(e2) = 1b1 - b2 + 0b3 + b4 e . A matriz dada é:
Isso significa que:
onde são os vetores da base .

Passo 4

Vamos escrever a base beta = 1 & 0 0 & 0, 0 & 1 0 & 0, 0 & 0 1 & 0, 0 & 0 0 & 1 explicitamente:
S(e1) = 21 & 0 0 & 0 + 10 & 1 0 & 0 -10 & 0 1 & 0 + 00 & 0 0 & 1 = 2 & 1 -1 & 0
Agora, substituindo na expressão de S(e2) = 11 & 0 0 & 0 -10 & 1 0 & 0 + 00 & 0 1 & 0 +10 & 0 0 & 1 = 1 & -1 0 & 1 e :

Passo 5

Agora que temos S(a, b) = a S(e1) + b S(e2) = a 2 & 1 -1 & 0 + b 1 & -1 0 & 1 e S(a, b) = 2a + b & a - b -a & b , podemos expressar a transformação para qualquer vetor em usando a linearidade:
Fazendo a soma das matrizes:

Passo 6

Agora, queremos encontrar 1 & 0 0 & 1 tal que 2a + b = 1 (1) seja a matriz identidade a - b = 0 (2) . Então, igualamos as entradas:
-a = 0 (3)
b = 1 (4)
0 - b = 0 Rightarrow b = 0
A partir da equação (3), temos . Substituindo na equação (2):
Mas da equação (4), . Isso é uma contradição ( não pode ser ao mesmo tempo 0 e 1).

Resposta

Não existe um par 1 & 0 0 & 1 tal que seja a matriz identidade .

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