Verifique se
, dada por
, é um isomorfismo de aneis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
, definida por
, é um isomorfismo de anéis. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre anéis e isomorfismos de anéis. Vamos precisar entender o que são anéis, o que significa uma função ser um isomorfismo de anéis, e verificar se nossa função
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, essas operações devem satisfazer certas propriedades, como ser comutativas e associativas, ter um elemento neutro, entre outras.
Passo 3
Agora, um isomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que é bijetiva (ou seja, é uma correspondência um-para-um e sobre) e que preserva as operações de adição e multiplicação. Isso significa que se você aplicar a função depois de somar ou multiplicar dois elementos, dá o mesmo resultado que somar ou multiplicar os elementos após aplicar a função.
Passo 4
Vamos verificar se a função
é bijetiva. Uma função é bijetiva se cada elemento do conjunto de origem corresponde a exatamente um elemento no conjunto de destino e vice-versa.
-
Injetividade: Se
, então . Isso implica que e . Portanto, é injetiva. -
Sobrejetividade: Para qualquer
em , existe em tal que . Assim, cobre todo o conjunto de destino, sendo sobrejetiva.
Portanto,
é bijetiva.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
preserva as operações de adição e multiplicação.
-
Preservação da adição:Por outro lado:Como os resultados são iguais,
preserva a adição. -
Preservação da multiplicação:E:Novamente, os resultados são iguais, então
preserva a multiplicação.
Resposta
Sim, a função
é um isomorfismo de anéis entre
e
.
Exercícios relacionados
Verifique se
e
são aneis isomorfos.
Seja
homomorfismo de aneis. Prove que se
é subanel (ideal) de
é subanel (ideal) de
. (Observação: Lembre que
.)
Prove que
e
não são aneis isomorfos.
Considere a transformação linear
, definido por:
Considerando a base canônica de
, determine a matriz da transformação T.