Verifique se f: Q times Z Z times Q, dada por f(x, y)=(y, x), é um isomorfismo de aneis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função , definida por , é um isomorfismo de anéis. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre anéis e isomorfismos de anéis. Vamos precisar entender o que são anéis, o que significa uma função ser um isomorfismo de anéis, e verificar se nossa função satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, essas operações devem satisfazer certas propriedades, como ser comutativas e associativas, ter um elemento neutro, entre outras.

Passo 3

Agora, um isomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que é bijetiva (ou seja, é uma correspondência um-para-um e sobre) e que preserva as operações de adição e multiplicação. Isso significa que se você aplicar a função depois de somar ou multiplicar dois elementos, dá o mesmo resultado que somar ou multiplicar os elementos após aplicar a função.

Passo 4

Vamos verificar se a função é bijetiva. Uma função é bijetiva se cada elemento do conjunto de origem corresponde a exatamente um elemento no conjunto de destino e vice-versa.
  • Injetividade: Se , então . Isso implica que e . Portanto, é injetiva.
  • Sobrejetividade: Para qualquer em , existe em tal que . Assim, cobre todo o conjunto de destino, sendo sobrejetiva.
Portanto, é bijetiva.

Passo 5

Agora, vamos verificar se f((x1, y1) + (x2, y2)) = f(x1 + x2, y1 + y2) = (y1 + y2, x1 + x2) preserva as operações de adição e multiplicação.
  • Preservação da adição:
    f(x1, y1) + f(x2, y2) = (y1, x1) + (y2, x2) = (y1 + y2, x1 + x2)
    Por outro lado:
    f((x1, y1) cdot (x2, y2)) = f(x1 cdot x2, y1 cdot y2) = (y1 cdot y2, x1 cdot x2)
    Como os resultados são iguais, f(x1, y1) cdot f(x2, y2) = (y1, x1) cdot (y2, x2) = (y1 cdot y2, x1 cdot x2) preserva a adição.
  • Preservação da multiplicação:
    E:
    Novamente, os resultados são iguais, então preserva a multiplicação.

Resposta

Sim, a função é um isomorfismo de anéis entre e .

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