Verifique se , dada por , é um isomorfismo de aneis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função , definida por , é um isomorfismo de anéis. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre anéis e isomorfismos de anéis. Vamos precisar entender o que são anéis, o que significa uma função ser um isomorfismo de anéis, e verificar se nossa função satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, essas operações devem satisfazer certas propriedades, como ser comutativas e associativas, ter um elemento neutro, entre outras.

Passo 3

Agora, um isomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que é bijetiva (ou seja, é uma correspondência um-para-um e sobre) e que preserva as operações de adição e multiplicação. Isso significa que se você aplicar a função depois de somar ou multiplicar dois elementos, dá o mesmo resultado que somar ou multiplicar os elementos após aplicar a função.

Passo 4

Vamos verificar se a função é bijetiva. Uma função é bijetiva se cada elemento do conjunto de origem corresponde a exatamente um elemento no conjunto de destino e vice-versa.
  • Injetividade: Se , então . Isso implica que e . Portanto, é injetiva.
  • Sobrejetividade: Para qualquer em , existe em tal que . Assim, cobre todo o conjunto de destino, sendo sobrejetiva.
Portanto, é bijetiva.

Passo 5

Agora, vamos verificar se preserva as operações de adição e multiplicação.
  • Preservação da adição:
    Por outro lado:
    Como os resultados são iguais, preserva a adição.
  • Preservação da multiplicação:
    E:
    Novamente, os resultados são iguais, então preserva a multiplicação.

Resposta

Sim, a função é um isomorfismo de anéis entre e .

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Considerando a base canônica de , determine a matriz da transformação T.