Determine uma transformação linear T: P2 M(2,2) que satisfaça simultaneamente as seguintes consições:
  • O elemento p(x)=1+x^2 in Ker(T)
  • O elemento q(x)=1 notin Ker(T)
  • O elemento A=[ll2 & 0 0 & 1] in Im(T)
    Dica: Lembre que se você souber como a transformação funciona na base, você descobre como ela funciona no espaço todo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar uma transformação linear 2 & 0 0 & 1 que atenda a três condições específicas:
  1. O polinômio está no núcleo de (ou seja, ).
  2. O polinômio não está no núcleo de (ou seja, ).
  3. A matriz está na imagem de (ou seja, existe algum polinômio que, quando transformado por , resulta em ).
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação, além de como definir uma transformação linear a partir da sua base.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2, . Uma base comum é . Isso significa que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como combinação linear desses três elementos.
Agora, para definir uma transformação linear, basta definirmos como ela age em cada elemento da base. Ou seja, precisamos encontrar , e .

Passo 3

Sabemos que T(1 + x^2) = T(1) + T(x^2) = 0 está no núcleo de T(x^2) = -T(1) . Isso implica que:
Daí, temos que:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Também sabemos que a & b c & d não está no núcleo de T(1) = a & b c & d neq 0 & 0 0 & 0 , ou seja, T(x^2) = -a & b c & d . Vamos chamar de uma matriz genérica . Então, temos:
E, conforme o passo anterior:

Passo 5

Agora, precisamos usar a condição que a matriz 2 & 0 0 & 1 está na imagem de T(r(x)) = A . Isso significa que existe algum polinômio T(alpha + beta x + gamma x^2) = alpha T(1) + beta T(x) + gamma T(x^2) = A em alpha a & b c & d + beta T(x) - gamma a & b c & d = 2 & 0 0 & 1 tal que:
(alpha - gamma) a & b c & d + beta T(x) = 2 & 0 0 & 1
Substituindo na transformação linear:
Usando :
Simplificando:

Passo 6

Para simplificar, podemos assumir que 0 cdot a & b c & d + 1 cdot T(x) = 2 & 0 0 & 1 , ou seja, T(x) = 2 & 0 0 & 1 , e . Assim, a equação fica:
Portanto:

Passo 7

Agora sabemos que:
T(1) = a & b c & d e T(x) = 2 & 0 0 & 1
T(x^2) = -a & b c & d
Como é uma transformação linear, devemos garantir que essas definições atendam às condições iniciais.

Passo 8

Vamos verificar se as condições estão sendo atendidas:
  1. a & b c & d
  2. a & b c & d
  3. 0 & 0 0 & 0

Passo 9

Agora, precisamos determinar os valores de T(1) = 1 & 0 0 & 0 . Observando que T(x^2) = -1 & 0 0 & 0 = -1 & 0 0 & 0 e que já foi definido, podemos escolher de forma que a transformação seja válida. Por simplicidade, podemos escolher como uma matriz nula, mas isso violaria a condição de que . Portanto, precisamos escolher diferente de zero.
Vamos assumir que:
Assim:

Passo 10

Agora, podemos definir a transformação T(1) = 1 & 0 0 & 0, T(x) = 2 & 0 0 & 1, T(x^2) = -1 & 0 0 & 0 completamente, já que temos como ela atua em cada elemento da base:

Resposta

A transformação linear T(a + bx + cx^2) = a 1 & 0 0 & 0 + b 2 & 0 0 & 1 + c -1 & 0 0 & 0 que satisfaz as condiç��es dadas é definida por:
T(a + bx + cx^2) = a + 2b - c & 0 0 & b
Simplificando, temos:

Exercícios relacionados