Determine uma transformação linear
que satisfaça simultaneamente as seguintes consições:
- O elemento
- O elemento
- O elemento
Dica: Lembre que se você souber como a transformação funciona na base, você descobre como ela funciona no espaço todo.
Dica: Lembre que se você souber como a transformação funciona na base, você descobre como ela funciona no espaço todo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar uma transformação linear
que atenda a três condições específicas:
- O polinômio
está no núcleo de (ou seja, ). - O polinômio
não está no núcleo de (ou seja, ). - A matriz
está na imagem de (ou seja, existe algum polinômio que, quando transformado por , resulta em ).
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre transformações lineares, núcleo e imagem de uma transformação, além de como definir uma transformação linear a partir da sua base.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2,
. Uma base comum é
. Isso significa que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como combinação linear desses três elementos.
Agora, para definir uma transformação linear, basta definirmos como ela age em cada elemento da base. Ou seja, precisamos encontrar
,
e
.
Passo 3
Sabemos que
está no núcleo de
. Isso implica que:
Daí, temos que:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 4
Também sabemos que
não está no núcleo de
, ou seja,
. Vamos chamar
de uma matriz genérica
. Então, temos:
E, conforme o passo anterior:
Passo 5
Agora, precisamos usar a condição que a matriz
está na imagem de
. Isso significa que existe algum polinômio
em
tal que:
Substituindo na transformação linear:
Usando
:
Simplificando:
Passo 6
Para simplificar, podemos assumir que
, ou seja,
,
e
. Assim, a equação fica:
Portanto:
Passo 7
Agora sabemos que:
Como
é uma transformação linear, devemos garantir que essas definições atendam às condições iniciais.
Passo 8
Vamos verificar se as condições estão sendo atendidas:
-
✅ -
✅ -
✅
Passo 9
Agora, precisamos determinar os valores de
. Observando que
e que
já foi definido, podemos escolher
de forma que a transformação seja válida. Por simplicidade, podemos escolher
como uma matriz nula, mas isso violaria a condição de que
. Portanto, precisamos escolher
diferente de zero.
Vamos assumir que:
Assim:
Passo 10
Agora, podemos definir a transformação
completamente, já que temos como ela atua em cada elemento da base:
Resposta
A transformação linear
que satisfaz as condiç��es dadas é definida por:
Simplificando, temos: