Prove que e não são aneis isomorfos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que os anéis e não são isomorfos. A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente Teoria dos Anéis. Para resolver, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ser isomorfo e analisar as propriedades desses dois conjuntos de múltiplos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades, como a comutatividade da adição, existência de elemento neutro, etc.

Passo 3

Dois anéis são isomorfos se existe uma bijeção (função um-para-um e sobre) entre eles que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, a estrutura algébrica dos anéis é a mesma.

Passo 4

Vamos analisar e . Esses conjuntos são os múltiplos de 2 e 3, respectivamente:
Ambos são subanéis de , o conjunto dos inteiros.

Passo 5

Para provar que não são isomorfos, vamos observar suas características. Um jeito fácil é analisar suas unidades, ou seja, os elementos que possuem inversos multiplicativos.

Passo 6

Em , o único elemento que tem inverso multiplicativo é 0, porque para qualquer , implica .

Passo 7

Já em , também somente 0 tem inverso multiplicativo pelo mesmo motivo.

Passo 8

Mas ainda precisamos de algo mais para diferenciar. Vamos olhar para os ideais principais gerados por 2 e 3. O ideal gerado por 2 em tem índice infinito, enquanto o gerado por 3 também. Então isso não ajuda muito.

Passo 9

Outra abordagem é verificar a existência de homomorfismos identidade. Se houvesse um isomorfismo, a relação entre os geradores deveria ser preservada. Mas 2 e 3 não são múltiplos um do outro, o que impede um isomorfismo.

Passo 10

Portanto, como não conseguimos estabelecer uma bijeção que preserve as operações entre e , concluímos que eles não são anéis isomorfos.

Resposta

Os anéis e não são isomorfos porque não existe uma bijeção que preserve as operações de adição e multiplicação entre eles.

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