Considere a transformação linear T: P2(R) R^3, definida por
T(p)=(p(0), p(1), p(-1))
Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas dos respectivos espaços vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz de em relação às bases canônicas dos espaços vetoriais de partida e chegada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, bases canônicas e como representar uma transformação linear por uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a base canônica de (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) é composta pelos polinômios . Já a base canônica de é , onde:

Passo 3

Para encontrar a matriz de , precisamos aplicar a cada vetor da base de e expressar o resultado em termos da base de . Cada imagem de um vetor base será uma coluna da matriz de .

Passo 4

Vamos calcular T(1) = (1(0), 1(1), 1(-1)) = (1, 1, 1) para cada polinômio da base de T(x) = (x(0), x(1), x(-1)) = (0, 1, -1) :
  1. Para T(x^2) = (x^2(0), x^2(1), x^2(-1)) = (0, 1, 1) :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Agora, vamos organizar esses resultados em colunas para formar a matriz de Matriz de T = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 . Cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base de :

Resposta

A matriz da transformação linear 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 em relação às bases canônicas é:

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