Esboce as hipérboles abaixo, escrevendo as equações das suas assíntotas. 4 y^2-9 x^2=36

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma hipérbole: . Precisamos esboçar essa hipérbole e encontrar as equações das suas assíntotas. Para isso, vamos lembrar da forma padrão da equação de uma hipérbole e como determinar suas assíntotas.

Passo 2

Vamos começar colocando a equação na forma padrão da hipérbole. Para isso, dividimos todos os termos por 36:
4 y^236 - 9 x^236 = 3636
Simplificando:
y^29 - x^24 = 1
Agora, a equação está na forma padrão .

Passo 3

Na forma padrão a^2 = 9 implies a = 3 , os valores de b^2 = 4 implies b = 2 e são essenciais para determinar as características da hipérbole. Aqui:

Passo 4

Como a hipérbole está na forma , ela abre para cima e para baixo, ou seja, o eixo transversal é vertical.

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma y = pm ab x são linhas retas que passam pela origem e têm inclinação . A fórmula geral das assíntotas é:

Passo 6

Substituindo os valores de y = pm 32 x e y = 32 x e y = -32 x que encontramos:
Portanto, as equações das assíntotas são:

Resposta

As equações das assíntotas são e .

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