Sejam V e W espaços vetoriais tais que dim(V)=n e dim(W)=m, com n>m, e considere uma transformação linear T: V W. Se B=v1, ldots, vn é uma base de V, o conjunto C=T(v1), T(v2), cdots, T(vn) subset W é LI ou LD? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois espaços vetoriais, e , com dimensões e , onde . Existe uma transformação linear . A base de é dada, e queremos saber se o conjunto dentro de é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, dimensão de espaços vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação linear T(u + v) = T(u) + T(v) e T(cv) = cT(v) é uma função que respeita a adição vetorial e a multiplicação por escalar, ou seja:
para quaisquer vetores e escalar .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a dimensão dos espaços vetoriais. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base. Aqui, tem dimensão e tem dimensão , com . Isso significa que estamos mapeando um espaço com mais dimensões para um com menos dimensões.

Passo 4

Vamos considerar o conjunto dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) . Queremos saber se esses vetores em são linearmente independentes ou não.
Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão), que nos diz que:
Onde:
  • é o núcleo de , o conjunto de vetores em que são mapeados para o vetor zero em .
  • é a imagem de , ou seja, o conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores em .

Passo 5

Sabemos que e . Como , se tentarmos mapear vetores de para , que só tem dimensão , inevitavelmente teremos vetores que serão “combinados” para restar dentro de . Isso significa que pelo menos um vetor em pode ser escrito como uma combina��ão linear dos outros, tornando o conjunto linearmente dependente.

Passo 6

Além disso, pelo Teorema de Rango, sabemos que a imagem de tem no máximo dimensão . Como estamos tentando mapear vetores, o conjunto de imagens não pode ser linearmente independente, pois o número de vetores independente não pode exceder a dimensão do espaço.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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