Sejam
e
espaços vetoriais tais que
e
, com
, e considere uma transformação linear
. Se
é uma base de
, o conjunto
é LI ou LD? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois espaços vetoriais,
e
, com dimensões
e
, onde
. Existe uma transformação linear
. A base
de
é dada, e queremos saber se o conjunto
dentro de
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, dimensão de espaços vetoriais e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação linear
é uma função que respeita a adição vetorial e a multiplicação por escalar, ou seja:
para quaisquer vetores
e escalar
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a dimensão dos espaços vetoriais. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base. Aqui,
tem dimensão
e
tem dimensão
, com
. Isso significa que estamos mapeando um espaço com mais dimensões para um com menos dimensões.
Passo 4
Vamos considerar o conjunto
. Queremos saber se esses vetores em
são linearmente independentes ou não.
Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão), que nos diz que:
Onde:
-
é o núcleo de , o conjunto de vetores em que são mapeados para o vetor zero em . -
é a imagem de , ou seja, o conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores em .
Passo 5
Sabemos que
e
. Como
, se tentarmos mapear
vetores de
para
, que só tem dimensão
, inevitavelmente teremos vetores que serão “combinados” para restar dentro de
. Isso significa que pelo menos um vetor em
pode ser escrito como uma combina��ão linear dos outros, tornando o conjunto
linearmente dependente.
Passo 6
Além disso, pelo Teorema de Rango, sabemos que a imagem de
tem no máximo dimensão
. Como estamos tentando mapear
vetores, o conjunto de imagens não pode ser linearmente independente, pois o número de vetores independente não pode exceder a dimensão do espaço.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.