Seja o subespaço vetorial S de R^2 times 2 formado por todas as matrizes diagonais, e a transformação linear T: P2(R) S cuja matriz em relação às respectivas bases canônicas B de P2(R) e C de R^2 times 2 é
A=[rrr 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 ]
Encontre T(1), T(x) e T(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear A=[rrr 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 ] que vai de (polinômios de grau até 2) para , que é o conjunto de todas as matrizes diagonais . A matriz que representa essa transformação nas bases canônicas é dada por:
Nosso objetivo é encontrar , e . Para isso, vamos usar a definição de transformação linear e como ela é representada por essa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T(v) = A cdot [v]B pode ser representada por uma matriz E1 = 1 & 0 0 & 0, E2 = 0 & 0 0 & 1 de tal forma que:
Aqui, é o vetor das coordenadas de na base . No nosso caso, a base de é a base canônica , e a base de (matrizes diagonais) é, presumivelmente, as matrizes:

Passo 3

Vamos começar encontrando , e usando a matriz . Cada coluna de representa a imagem dos vetores da base sob a transformação . Ou seja:
  • A primeira coluna de é
  • A segunda coluna de é
  • A terceira coluna de é

Passo 4

Vamos extrair cada coluna de A = [ccc 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 ] para identificar T(1) = 1 2 , T(x) = 3 0 e T(x^2) = -1 5 :
  • Primeira coluna ( ):
  • Segunda coluna ( ):
  • Terceira coluna ( ):

Passo 5

Agora, precisamos interpretar esses vetores como matrizes diagonais. Lembrando que nossa base T(1) = 1 cdot E1 + 2 cdot E2 = 1 & 0 0 & 2 para T(x) = 3 cdot E1 + 0 cdot E2 = 3 & 0 0 & 0 é formada por T(x^2) = (-1) cdot E1 + 5 cdot E2 = -1 & 0 0 & 5 e . Então cada vetor coluna representa os coeficientes para e :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Portanto, as imagens dos polinômios são:
T(1) = 1 & 0 0 & 2, T(x) = 3 & 0 0 & 0, T(x^2) = -1 & 0 0 & 5

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