Seja o subespaço vetorial
de
formado por todas as matrizes diagonais, e a transformação linear
cuja matriz em relação às respectivas bases canônicas
de
e
de
é
Encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear
que vai de
(polinômios de grau até 2) para
, que é o conjunto de todas as matrizes diagonais
. A matriz que representa essa transformação nas bases canônicas é dada por:
Nosso objetivo é encontrar
,
e
. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear e como ela é representada por essa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
de tal forma que:
Aqui,
é o vetor das coordenadas de
na base
. No nosso caso, a base
de
é a base canônica
, e a base
de
(matrizes diagonais) é, presumivelmente, as matrizes:
Passo 3
Vamos começar encontrando
,
e
usando a matriz
. Cada coluna de
representa a imagem dos vetores da base
sob a transformação
. Ou seja:
- A primeira coluna de
é - A segunda coluna de
é - A terceira coluna de
é
Passo 4
Vamos extrair cada coluna de
para identificar
,
e
:
-
Primeira coluna (
): -
Segunda coluna (
): -
Terceira coluna (
):
Passo 5
Agora, precisamos interpretar esses vetores como matrizes diagonais. Lembrando que nossa base
para
é formada por
e
. Então cada vetor coluna representa os coeficientes para
e
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
Portanto, as imagens dos polinômios são: