Sejam
e
espaços vetoriais tais que
e
, com
, e considere uma transformação linear
. Prove que existe um vetor não nulo
tal que
, ou seja, que
não é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de Álgebra Linear que fala sobre transformações lineares entre dois espaços vetoriais,
e
. Sabemos que a dimensão de
é
e a de
é
, com
. A tarefa é provar que existe um vetor diferente de zero em
que, ao aplicar a transformação
, resulta no vetor nulo em
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como dimensão de espaços vetoriais, transformações lineares e o teorema da dimensão (também conhecido como Teorema da Sombra ou Rank-Nullity Theorem).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a dimensão de um espaço vetorial. A dimensão é o número de vetores em uma base do espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para gerar todo o espaço através de combinações lineares. Então, se
, isso significa que precisamos de
vetores para formar uma base de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre transformações lineares. Uma transformação linear
é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que para quaisquer vetores
e escalar
, temos:
Uma propriedade importante das transformações lineares é que elas mapeiam subespaços de
em subespaços de
.
Passo 4
O próximo conceito chave é o teorema da dimensão (Rank-Nullity Theorem), que diz:
Aqui,
é o núcleo de
(conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
), e
é a imagem de
(conjunto de todos os vetores em
que são imagens de
através de
).
Passo 5
Sabemos que
. A imagem de
é um subespaço de
, então sua dimensão,
, não pode ser maior que
. Portanto:
Passo 6
Agora, aplicando o teorema da dimensão:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
, então
, o que implica:
Passo 7
Se
, isso significa que o núcleo de
contém pelo menos um vetor não nulo. Em outras palavras, existe um vetor
tal que
e
.
Resposta
Portanto, provamos que existe um vetor não nulo
para o qual
, ou seja, a transformação
não é injetora.