Sejam V e W espaços vetoriais tais que dim(V)=n e dim(W)=m, com n>m, e considere uma transformação linear T: V W. Prove que existe um vetor não nulo v in V tal que T(v)=0W, ou seja, que T não é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de Álgebra Linear que fala sobre transformações lineares entre dois espaços vetoriais, e . Sabemos que a dimensão de é e a de é , com . A tarefa é provar que existe um vetor diferente de zero em que, ao aplicar a transformação , resulta no vetor nulo em . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como dimensão de espaços vetoriais, transformações lineares e o teorema da dimensão (também conhecido como Teorema da Sombra ou Rank-Nullity Theorem).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a dimensão de um espaço vetorial. A dimensão é o número de vetores em uma base do espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que precisamos para gerar todo o espaço através de combinações lineares. Então, se , isso significa que precisamos de vetores para formar uma base de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre transformações lineares. Uma transformação linear T(u + v) = T(u) + T(v) é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que para quaisquer vetores T(c cdot v) = c cdot T(v) e escalar , temos:
Uma propriedade importante das transformações lineares é que elas mapeiam subespaços de em subespaços de .

Passo 4

O próximo conceito chave é o teorema da dimensão (Rank-Nullity Theorem), que diz:
dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T))
Aqui, é o núcleo de (conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em ), e é a imagem de (conjunto de todos os vetores em que são imagens de através de ).

Passo 5

Sabemos que dim(Im(T)) <= m . A imagem de é um subespaço de , então sua dimensão, , não pode ser maior que . Portanto:

Passo 6

Agora, aplicando o teorema da dimensão:
n = dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) <= dim(ker(T)) + m
Subtraindo n - m <= dim(ker(T)) de ambos os lados:
dim(ker(T)) >= 1
Como , então , o que implica:

Passo 7

Se , isso significa que o núcleo de contém pelo menos um vetor não nulo. Em outras palavras, existe um vetor tal que e .

Resposta

Portanto, provamos que existe um vetor não nulo para o qual , ou seja, a transformação não é injetora.

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