Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que leva polinômios de grau no máximo 2, ou seja, , para o espaço tridimensional . A transformação é definida por . A tarefa é mostrar que essa transformação é bijetora, ou seja, que ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, injeção e sobrejeção.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é injetora se, sempre que , então . Em outras palavras, não há dois polinômios diferentes que fiquem “colados” na mesma imagem pela transformação.
Passo 3
Agora, para verificar se é injetora, vamos assumir que e mostrar que isso implica que é o polinômio nulo. Seja . Então,
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Como a + b = 0 a - b = 0 , podemos substituir nas outras equações:
Somando as duas equações, temos , então . Substituindo na equação , obtemos .
Passo 5
Portanto, , e , o que significa que . Isso mostra que o único polinômio que vai para o vetor zero é o polinômio nulo, ou seja, é injetora.
Passo 6
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se, para todo vetor em , existe pelo menos um polinômio em tal que .
Passo 7
Seja c = y1 a + b + c = y2 a - b + c = y3 um vetor qualquer em . Precisamos encontrar tais que:
Passo 8
Como a + b + y1 = y2 a - b + y1 = y3 , podemos substituir nas outras equações:
a + b = y2 - y1 a - b = y3 - y1
Simplificando, temos:
Passo 9
Vamos resolver esse sistema de equações. Somando as duas equações: