Considere a transformação linear T: P2(R) R^3, definida por
T(p)=(p(0), p(1), p(-1))
Mostre que T é bijetora.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que leva polinômios de grau no máximo 2, ou seja, , para o espaço tridimensional . A transformação é definida por . A tarefa é mostrar que essa transformação é bijetora, ou seja, que ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, injeção e sobrejeção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é injetora se, sempre que , então . Em outras palavras, não há dois polinômios diferentes que fiquem “colados” na mesma imagem pela transformação.

Passo 3

Agora, para verificar se T(p) = (p(0), p(1), p(-1)) = (c, a + b + c, a - b + c) = (0, 0, 0) é injetora, vamos assumir que c = 0 a + b + c = 0 a - b + c = 0 e mostrar que isso implica que é o polinômio nulo. Seja . Então,
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Como a + b = 0 a - b = 0 , podemos substituir nas outras equações:
Somando as duas equações, temos , então . Substituindo na equação , obtemos .

Passo 5

Portanto, , e , o que significa que . Isso mostra que o único polinômio que vai para o vetor zero é o polinômio nulo, ou seja, é injetora.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se, para todo vetor em , existe pelo menos um polinômio em tal que .

Passo 7

Seja c = y1 a + b + c = y2 a - b + c = y3 um vetor qualquer em . Precisamos encontrar tais que:

Passo 8

Como a + b + y1 = y2 a - b + y1 = y3 , podemos substituir nas outras equações:
a + b = y2 - y1 a - b = y3 - y1
Simplificando, temos:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema de equações. Somando as duas equações:
2a = (y2 - y1) + (y3 - y1) Rightarrow 2a = y2 + y3 - 2y1 Rightarrow a = y2 + y3 - 2y12
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2b = (y2 - y1) - (y3 - y1) Rightarrow 2b = y2 - y3 Rightarrow b = y2 - y32

Passo 10

Então, temos:
c = y1, a = y2 + y3 - 2y12, b = y2 - y32
Isso significa que, para qualquer vetor em , conseguimos encontrar um polinômio que satisfaz . Portanto, é sobrejetora.

Resposta

Como a transformação é tanto injetora quanto sobrejetora, concluímos que é bijetora.

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