Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que passa de para e é definida por . A missão aqui é encontrar a matriz dessa transformação em relação à base canônica e uma outra base . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear e mudança de base, para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa encontrar a matriz . Essa matriz representa a transformação quando partimos da base (a base padrão) e vamos para a base . Para construir essa matriz, precisamos aplicar em cada vetor da base e expressar o resultado em termos da base .
Passo 3
A base canônica de é formada pelos vetores , e . Vamos aplicar em cada um desses vetores.
Passo 4
Aplicando em :
Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base , onde , e .
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Isso dá:
Já que 0 = 1 + 2 + c Rightarrow c = -3 e , substituindo na terceira equação:
Então, .
Passo 6
Repetindo o processo para T(0, 1, 0) = (0 + 2 cdot 1 + 0, 2 cdot 0 - 1, 2 cdot 1 - 0) = (2, -1, 2) :
(2, -1, 2) = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3
Vamos expressar 2 = a -1 = b 2 = a + b + c em termos de 2 = 2 + (-1) + c Rightarrow c = 1 :