Seja a transformação linear T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x-y, 2 y-z)
Encontre [T]B, C, em que B é a base canônica de R^3, e
C=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que passa de para e é definida por . A missão aqui é encontrar a matriz dessa transformação em relação à base canônica e uma outra base . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear e mudança de base, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa encontrar a matriz . Essa matriz representa a transformação quando partimos da base (a base padrão) e vamos para a base . Para construir essa matriz, precisamos aplicar em cada vetor da base e expressar o resultado em termos da base .

Passo 3

A base canônica de é formada pelos vetores , e . Vamos aplicar em cada um desses vetores.

Passo 4

Aplicando T(1, 0, 0) = (1 + 2 cdot 0 + 0, 2 cdot 1 - 0, 2 cdot 0 - 0) = (1, 2, 0) em :
Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base , onde , e .

Passo 5

Vamos resolver a equação:
(1, 2, 0) = a cdot (1,0,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (0,0,1)
Isso dá:
1 = a 2 = b 0 = a + b + c
Já que 0 = 1 + 2 + c Rightarrow c = -3 e , substituindo na terceira equação:
Então, .

Passo 6

Repetindo o processo para T(0, 1, 0) = (0 + 2 cdot 1 + 0, 2 cdot 0 - 1, 2 cdot 1 - 0) = (2, -1, 2) :
(2, -1, 2) = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3
Vamos expressar 2 = a -1 = b 2 = a + b + c em termos de 2 = 2 + (-1) + c Rightarrow c = 1 :
Isso resulta em:
Substituindo , :
Portanto, .

Passo 7

Por último, para T(0, 0, 1) = (0 + 2 cdot 0 + 1, 2 cdot 0 - 0, 2 cdot 0 - 1) = (1, 0, -1) :
(1, 0, -1) = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3
Expressando 1 = a 0 = b -1 = a + b + c em termos de -1 = 1 + 0 + c Rightarrow c = -2 :
Isso dá:
Com , :
Logo, .

Resposta

A matriz da transformação linear [T]B, C = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 -3 & 1 & -2 em relação às bases e é:

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