Seja a transformação linear T: R^3 R^2 definida por:
T(x, y, z)=(x-y+z,-x+2 z)
Encontre [T]B, C, em que B é a base canônica de R^3 e C é a base canônica de R^2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve transformações lineares e matrizes associadas. A questão pede para encontrar a matriz que representa a transformação linear T(x, y, z) = (x - y + z, -x + 2z) definida por
usando as bases canônicas de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 3

Para encontrar a matriz associada à transformação , usamos as bases canônicas dos espaços. A base canônica de é formada pelos vetores , e . A base canônica de é formada pelos vetores e .

Passo 4

A matriz da transformação é construída aplicando a cada vetor da base de e colocando os resultados como colunas na matriz.

Passo 5

Vamos calcular T(e1) = T(1, 0, 0) = (1 - 0 + 0, -1 + 0) = (1, -1) para cada vetor da base de T(e2) = T(0, 1, 0) = (0 - 1 + 0, 0 + 0) = (-1, 0) :
T(e3) = T(0, 0, 1) = (0 - 0 + 1, 0 + 2) = (1, 2)

Passo 6

Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz [T]B, C = 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 2 :

Resposta

A matriz associada à transformação linear [T]B, C = 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 2 nas bases canônicas é:

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