Considere a transformação linear T: P3(R) P2(R) definida por
T(p(t))=2 p^prime(t)+p(0)(t-1)
Encontre os conjuntos N u(T) e Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo (Nú(T)) e a imagem (Im(T)) de uma transformação linear T(p(t)) = 2 p^prime(t) + p(0)(t - 1) que vai de para . A transformação é definida por:
Para resolver isso, precisamos entender conceitos de álgebra linear, como núcleo e imagem de uma transformação linear. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de , ou seja, todos os polinômios que satisfazem .

Passo 3

A transformação 2 p^prime(t) + p(0)(t - 1) = 0 igual a zero nos dá a equação:
Isso significa que para cada , essa expressão deve ser zero.

Passo 4

Vamos assumir que p(t) = a t^3 + b t^2 + c t + d é um polinômio de grau no máximo 3, então podemos escrever:
p^prime(t) = 3a t^2 + 2b t + c
Agora, vamos calcular p(0) = d e :

Passo 5

Substituindo na equação 2 (3a t^2 + 2b t + c) + d(t - 1) = 0 :
6a t^2 + 4b t + 2c + d t - d = 0
Simplificando:
6a t^2 + (4b + d) t + (2c - d) = 0
Reagrupando os termos:

Passo 6

Para que essa equação seja identicamente zero para todo 6a = 0 4b + d = 0 2c - d = 0 , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
6a = 0 Rightarrow a = 0 4b + d = 0 Rightarrow d = -4b 2c - d = 0 Rightarrow 2c - (-4b) = 0 Rightarrow 2c + 4b = 0 Rightarrow c = -2b
Então, expressamos em função de .

Passo 8

Como p(t) = 0 cdot t^3 + b t^2 - 2b t - 4b = b(t^2 - 2t - 4) , e , podemos escrever qualquer polinômio no Núcleo como:
Isso mostra que o Núcleo é gerado pelo polinômio .

Passo 9

Agora, vamos encontrar a Imagem de , ou seja, todos os polinômios que podem ser escritos como para algum .

Passo 10

A imagem de T(p(t)) = 2 p^prime(t) + p(0)(t - 1) é o conjunto de todas as combinações lineares dos polinômios resultantes da transformação. Vamos ver quais polinômios podemos obter:
Sabemos que é qualquer polinômio de grau no máximo 3, então é de grau no máximo 2.

Passo 11

Isso significa que qualquer polinômio na Imagem de será uma combinação de , e constantes. Como não há restrições específicas além disso, a Imagem de é todo o espaço .

Resposta

  • Núcleo de Nú(T) = b(t^2 - 2t - 4) mid b in R :
Im(T) = P2(R) ú
  • Imagem de :

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