Considere a transformação linear
definida por
Encontre os conjuntos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo (Nú(T)) e a imagem (Im(T)) de uma transformação linear
que vai de
para
. A transformação é definida por:
Para resolver isso, precisamos entender conceitos de álgebra linear, como núcleo e imagem de uma transformação linear. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de
, ou seja, todos os polinômios
que satisfazem
.
Passo 3
A transformação
igual a zero nos dá a equação:
Isso significa que para cada
, essa expressão deve ser zero.
Passo 4
Vamos assumir que
é um polinômio de grau no máximo 3, então podemos escrever:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo na equação
:
Simplificando:
Reagrupando os termos:
Passo 6
Para que essa equação seja identicamente zero para todo
, os coeficientes de
,
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Então, expressamos
em função de
.
Passo 8
Como
,
e
, podemos escrever qualquer polinômio no Núcleo como:
Isso mostra que o Núcleo é gerado pelo polinômio
.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a Imagem de
, ou seja, todos os polinômios
que podem ser escritos como
para algum
.
Passo 10
A imagem de
é o conjunto de todas as combinações lineares dos polinômios resultantes da transformação. Vamos ver quais polinômios podemos obter:
Sabemos que
é qualquer polinômio de grau no máximo 3, então
é de grau no máximo 2.
Passo 11
Isso significa que qualquer polinômio na Imagem de
será uma combinação de
,
e constantes. Como não há restrições específicas além disso, a Imagem de
é todo o espaço
.
Resposta
- Núcleo de
:
- Imagem de
:
Exercícios relacionados
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(f) ;
(f)
Dados os vértices
de uma placa triangular homogênea, determinar o seu centro de gravidade. Sugestão: O centro de gravidade de um triângulo se encontra no ponto de interseção das medianas. Vale um resultado análogo para vetores do plano.
Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base
.
(b) Encontre , se
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base
(b) Encontre
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(l) ;
(l)