Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x-y+z, x+y+2 z, x+2 y+z)
Obtenha [T]B, B, em que B é a base canônica de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre a matriz da transformação linear em relação à base canônica de . Isso envolve entender como age nos vetores da base canônica e montar a matriz com esses resultados. Para isso, precisamos conhecer o que é uma transformação linear, a base canônica e como encontrar a matriz representativa usando esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a base canônica de é formada pelos vetores , e . Nossa missão é aplicar a transformação em cada um desses vetores e usar os resultados como colunas da matriz .

Passo 3

Vamos aplicar T(1, 0, 0) = (1 - 0 + 0, 1 + 0 + 2 times 0, 1 + 2 times 0 + 0) = (1, 1, 1) no primeiro vetor da base canônica, :
Esse será a primeira coluna da nossa matriz.

Passo 4

Agora, aplicamos T(0, 1, 0) = (0 - 1 + 0, 0 + 1 + 2 times 0, 0 + 2 times 1 + 0) = (-1, 1, 2) no segundo vetor da base canônica, :
Esse será a segunda coluna da matriz.

Passo 5

Por fim, aplicamos T(0, 0, 1) = (0 - 0 + 1, 0 + 0 + 2 times 1, 0 + 2 times 0 + 1) = (1, 2, 1) no terceiro vetor da base canônica, :
Esse será a terceira coluna da matriz.

Resposta

Portanto, a matriz da transformação [T]B, B = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 em relação à base canônica é:

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