Determine uma base e a dimensão do seguinte subespaço vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base e a dimensão do seguinte subespaço vetorial:
Isso pertence ao estudo de espaços vetoriais e subespaços, onde precisamos entender quais vetores estão nesse conjunto e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação que define o subespaço:
Podemos dividir ambos os lados por 2:
Então, todo vetor
em
satisfaz
. Isso significa que podemos expressar qualquer vetor em
como
, onde
é um número real.
Passo 3
Agora, vamos representar esses vetores de uma forma mais geral. Se
é qualquer real, podemos escrever:
Ou seja, todo vetor em
é um múltiplo escalar de
.
Passo 4
A partir disso, percebemos que o vetor
gera todo o subespaço
. Isso significa que
é um conjunto gerador de
.
Passo 5
Como temos apenas um vetor que gera
e esse vetor é não nulo, esse conjunto é uma base para
. Além disso, a dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base.
Resposta
A base do subespaço
é
e a dimensão de
é 1.