Determine uma base e a dimensão do seguinte subespaço vetorial:
W=(x, y) in R^2 / 2 x-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base e a dimensão do seguinte subespaço vetorial:
W = (x, y) in R^2 , | , 2x - 2y = 0
Isso pertence ao estudo de espaços vetoriais e subespaços, onde precisamos entender quais vetores estão nesse conjunto e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação que define o subespaço:
2x - 2y = 0
Podemos dividir ambos os lados por 2:
x - y = 0 implies x = y
Então, todo vetor em satisfaz . Isso significa que podemos expressar qualquer vetor em como , onde é um número real.

Passo 3

Agora, vamos representar esses vetores de uma forma mais geral. Se (x, y) = y cdot (1, 1) é qualquer real, podemos escrever:
Ou seja, todo vetor em é um múltiplo escalar de .

Passo 4

A partir disso, percebemos que o vetor gera todo o subespaço . Isso significa que é um conjunto gerador de .

Passo 5

Como temos apenas um vetor que gera e esse vetor é não nulo, esse conjunto é uma base para . Além disso, a dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base.

Resposta

A base do subespaço é e a dimensão de é 1.

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